Уравнение плоской волны, движущейся в произвольном направлении. Фазовая скорость и скорость распространения энергии

Пусть плоская волна движется в направлении орта . В начале координат напряженность электрического поля , а напряженность магнитного поля . Найдем значения векторов поля в точке А, положение которой задано вектором (рис. 7.4). Предположим, что среда не имеет потерь ( ).

Рис. 7.4. Распространение плоской волны в направлении s

Если через точку A провести плоскость, нормальную к направлению распространения волны, то на всей этой плоскости векторы поля в любой произвольный момент времени будут иметь одно и то же значение, так как волна плоская. От начала координат до указанной плоскости волна прошла путь , следовательно, в точке фаза изменилась на . Таким образом, и Эти выражения можно записать более компактно, если воспользоваться понятием волнового вектора

, (7.20)

модуль которого равен волновому числу, а направление совпадает с направлением распространения волны. Подставив (7.20) в предыдущее выражение, получим уравнения движения плоской волны в произвольном направлении

и . (7.21)

Запишем уравнения распространения волны в декартовой системе координат. Для этого скалярное произведение векторов и необходимо представить в декартовой системе.

Радиус-вектор точки наблюдения . Волновой вектор также можно представить в виде суммы трех составляющих: .

Перемножим скалярно и : . Подставив это выражение в (7.21), получим

,

.

Теперь можно записать мгновенное значение любой из составляющих векторов поля и . Например, если в начале координат , то в точке с координатами х, у, z в момент времени t

. (7.22)

Совершенно аналогичные выражения можно записать для двух других составляющих вектора , а также для всех трех составляющих вектора .

При изучении теории длинных линий в режиме установившихся синусоидальных колебаний фазовая скорость была определена как скорость перемещения вдоль линии передачи, например кабеля связи, точки, в которой фаза колебаний одинакова. Совершенно аналогичное определение можно дать, рассматривая распространение в пространстве плоской моногармонической электромагнитной волны. Однако в этом случае слово «линия» следует понимать в геометрическом смысле как некоторую прямую, не обязательно совпадающую с направлением распространения волны.

Предположим, что волна распространяется в направлении, определяемом ортом , которое образует угол a с направлением оси х (рис. 7.5). Уравнение движения волны для одной из составляющих векторов поля в соответствии с (7.22) можно записать так:

.

Рис. 7.5. Длина волны в произвольном направлении х

Зафиксируем некоторое значение фазы =const. Расстояние от начала координат до точки, в которой колебания находятся в данной фазе, изменяется со временем равно . Следовательно, фазовая скорость в направлении s будет равна

(7.23)

Из (7.19) следует, что скорость распространения электромагнитной волны также равна . Таким образом, в направлении распространения фазовая скорость совпадает со скоростью движения волны, а следовательно, и со скоростью распространения энергии.

Уравнение движения волны можно записать и в форме (7.22). Из этого выражения следует, что фазовая скорость в направлении х, т. е. скорость движения точки, в которой фаза колебаний ( ) остается постоянной, равна

. (7.24)

Так как - проекция на направление оси х волнового вектора , то , следовательно,

. (7.25)

Таким образам, фазовая скорость в направлении, не совпадающим с направлением распространения волны, всегда больше волновой скорости. Если волна распространяется в пустом пространстве (волновая скорость равна скорости света с), фазовая скорость в произвольном направлении будет больше скорости света.

Это положение можно проиллюстрировать с помощью следующих наглядных представлений. На рис. 7.5 штриховыми линиями показаны «гребни волны», распространяющейся в направлении . («Гребнем волны» можно считать геометрическое место точек, в которых вектор поля имеет одинаковое значение.) Расстояние между гребнями равны длине волны в направлении движения, т. е. тому пути, который волна проходит за период

. (7.26)

Расстояния между гребнями в направлении х, т. е. длина волны в направлении х, больше, чем в направлении :

.

Следовательно, за то же время Т «гребень волны» проходит в направлении х больший путь, т. е. фазовая скорость в направлении х больше, чем фазовая скорость в направлении движения волны.

Это утверждение не противоречит одному из основных положений физики о том, что скорость распространения энергии не может быть больше скорости света. Фазовую скорость нельзя отождествлять со скоростью распространения энергии. Энергия распространяется в направлении движения волны. Скорость распространения энергии в направлении оси х надо рассматривать как проекцию скорости на , т. е. .