Уравнения Эйлера-Лагранжа

Вариационные задачи на условный экстремум (связанный экстремум) появляются тогда, когда экстремум функционала отыскивается с учетом дополнительных условий, например, заданной системы дифференциальных уравнений объекта управления.

Пусть заданы дифференциальные уравнения объекта управления

(а)

или

Требуется найти экстремали функционала

(б)

Краевые условия x(t₀)=x₀ , x(t_к)=x_к.

Вводится новый функционал

(в)

в котором

где l(t) – n-мерный вектор, элементами которого являются множители Лагранжа.

С помощью этих множителей Лагранжа задача об условном (а) экстремуме функционала (б) сводится к отысканию безусловного экстремума функционала (в).

Линейная часть приращения функционала по отношению к dx называется вариацией функционала и обозначается dJ. Вариация функционала аналогична дифференциалу функции dx.

Известно, что если некоторая функция в точке t₀ имеет экстремум, то dx=0 (dJ=0).

Таким образом, чтобы функционал имел экстремум, его вариация dJ должна равняться нулю (dJ=0). Функции, на которых вариация функционала dJ=0, называются экстремалями.

Рассмотрим упрощенный вывод уравнения Эйлера. Пусть задан функционал

(1)

Требуется найти функцию, которая дает минимум функционалу (1). Требуется найти уравнение такой линии 1, которое при подстановке в функционал J давало бы ему экстремум.

Предположим, что такая линия найдена, то есть найдена функция ее описывающая. Проварьируем эту функцию и определим приращение функционала (dJ – вариация функционала, dx – дифференциал функции).

.

Вариацию аргумента выберем таким образом, чтобы dx(t₀)=0 и dx(t₁)=0, то есть варьируемая линия 2 должна проходить через точки x(t₀), x(t₁).

После разложения этого уравнения в ряд Тейлора и линеаризации, то есть учета только линейной части, получим

Интегрируя по частям второй член и преобразуя, найдем выражение

(2)

(для экстремали мы должны потребовать dJ=0)

По лемме Лагранжа интеграл (2) равен нулю только тогда, когда

(3)

Уравнение (3) является уравнением Эйлера. Среди решений этого уравнения следует искать экстремали.

Рассмотрим уравнение Эйлера-Пуассона. Выражение для функционала качества имеет вид

(*)

Функцию f₀ считают дифференцируемой по своим аргументам необходимое число раз. Заданы граничные условия , где – заданные числа.

Решение уравнения