Энергия магнитного поля двух индуктивно связанных катушек

Рассмотрим две ветви содержащие индуктивно связанные катушки.

Энергию поля токов и двух индуктивно связанных ветвей будем определять из энергии, которая получена от действия источников питания этих ветвей и . При этом будем полагать, что вначале , т.е. обе ветви разомкнуты.

Пусть сначала источник питания включен только в первую ветвь, содержащую индуктивность , а вторая ветвь с индуктивностью остается разомкнутой, т.е. . Тогда при возрастании тока от нуля до значения за промежуток времени этот источник питания должен отдать энергию:

.

Если вычисть из энергии энергию, которая рассеивается в сопротивлении (первое слагаемое в правой части уравнения), то окажется, что источник питания включенный в первую ветвь, отдаст магнитному полю энергию:

.

Пусть в момент времени другой источник включается во вторую ветвь с индуктивностью и к моменту времени ток в этой ветви возрастает от нуля до значения . Если за этот промежуток времени ток в первой ветви остается постоянным, то источник питания второй ветви, по аналогии, должен отдать магнитному полю энергию

.

Однако при нарастании тока в первой ветви будет наведена ЭДС . В этом случае, чтобы ток в первой ветви остался постоянным ( ), первый источник должен создать напряжение , необходимое не только для уравновешивания падения напряжения , но и наводимую в первой ветви ЭДС . Поэтому энергия, отдаваемая первым источником магнитному полю за время нарастания тока , запишется в виде:

В итоге полную энергию магнитного поля при токах и в двух индуктивно связанных ветвях определит выражение:

.

Если сначала источник питания включить во вторую ветвь, а затем включить источник питания в первой ветви и повторить аналогичный ход рассуждений, то в конечном итоге можем записать:

Разница в полученных выражениях заключается лишь в том, что в первом случае выражение содержит коэффициент взаимной индукции , равный потокосцеплению первого элемента при постоянном токе во втором, а в другом случае выражение содержит коэффициент взаимной индукции , равный потокосцеплению второго элемента при постоянном токе в первом. При этом, конечное состояние цепи в обоих случаях одинаково. Поэтому можно сделать заключение о равенстве взаимных индуктивностей: .