Сглаживание экспериментальных временных рядов

Одной из наиболее практически значимых задач является построение плавных временных зависимостей функции , если эта функция имеет случайную составляющую. Дискретную зависимость называют временным рядом или, в общем случае, дискретным случайным процессом. Общие свойства и методы описания случайных процессов мы рассмотрим в пятой лекции. По сравнению с экспериментальными зависимостями , которые мы считали результатом однофакторного эксперимента и рассмотрели выше, особенности экспериментальных временных рядов заключаются в следующем:

1. На практике обычно приходится анализировать временные ряды с достаточно большим количеством отсчетов (не менее нескольких десятков).

2. Отсчеты, как правило, производятся через равные промежутки времени (равноотстоящие узлы зависимости при )

3. Зависимость заведомо немонотонна и, чаще всего, ограничена. Поэтому, если выбрать конечный интервал , то для любого с увеличением длины временного ряда количество значений , попадающих в интервал будет увеличиваться.

4. Приближающую функцию, аппроксимирующую временной ряд по всей его длине, как правило, невозможно описать аналитически.

Особенности временных рядов хорошо поясняет простейший пример. Проведем однофакторный эксперимент, регистрируя значения входных и выходных параметров одновременно, в моменты времени , через равные промежутки . Тогда функциональная зависимость , описывающая результаты эксперимента, задается параметрически, через два временных ряда , .

В теории обработки временных рядов существует множество способов их сглаживания: фильтрация с использованием преобразования Фурье, кусочная аппроксимация многочленами и др… Мы рассмотрим два простейших, но принципиально разных вида сглаживания, которые, в какой-то мере, обобщают особенности этой процедуры:

1) метод скользящего среднего;

2) медианное сглаживание.

Рассмотрим две случайные зависимости, показанные на рис.4.6. Зависимости имеют одинаковую регулярную составляющую , а случайные составляющие зависимостей отличаются: зависимость рис.4.6,б кроме мелких случайных флуктуаций имеет редкие выбросы достаточно большой амплитуды.

а б

Рисунок .4.6

Целью сглаживания является получение плавной зависимости . Метод скользящего среднего предполагает выбор окна усреднения , и для каждого рассчитывается среднее значения на этом интервале:

. (4.17)

Этот метод позволяет сгладить случайную составляющую зависимости, то есть избавиться от высокочастотных флуктуаций. фильтрация высоких частот зависит от длины интервала усреднения .

Контрольные вопросы

1. В каких случаях обработки экспериментальных данных применяют интерполирование многочленом Лагранжа; интерполирование многочленом Ньютона?

2. Сущность и назначение быстрых методов установления графического вида однофакторных зависимостей

3. Сущность линейной регрессии и линейной корреляции

4. Что определяет коэффициент корреляции?

5. Быстрая оценка коэффициента корреляции исходных данных.

Лекция 5 Измерение как процесс передачи сигналов. Сигналы и их математическое описание. Временные характеристики детерминированных сигналов Временные характеристики стохастических сигналов