Представление результатов измерений

Экспериментальные исследования, выполняемые в науке, включают в себя как измерительную часть, так и обработку полученных данных с их детальным анализом. Практические знания из области проведения и организации эксперимента, умения и навыки в работе с измерительными приборами, владение аппаратом статистического анализа результатов требуются и в деятельности инженера-практика, и в деятельности инженера-исследователя. В этой лекции, рассмотрены вопросы, связанные с составлением таблиц и построением графиков – всем тем, что требуется на начальном этапе обработки данных измерений.

Таблицы, для записи результатов большого количества однотипных измерений удобно использовать таблицы. С их помощью удается избежать ненужной многократной записи обозначения измеряемой величины, единиц измерения, используемых множителей и т.п. В таблицы, помимо экспериментальных данных, могут быть сведены промежуточные результаты обработки этих данных.

Форма таблицы должна быть удобна для записи и дальнейшей обработки экспериментальных данных. С этой целью необходимо предварительно продумать, значения каких физических величин или результаты расчетов будут помещены в таблицу. Отсюда заранее определяют количество столбцов и строк, необходимых в таблице. Таблицы, а их может потребоваться несколько, принято нумеровать в порядке их использования. Кроме того, каждой таблице дают краткое название, соответствующее помещенным в нее данным. Первый столбец таблицы, как правило, отводят для записи порядкового номера измерения. В заголовках других столбцов, то есть в самой верхней части, после символьного обозначения физической величины через запятую приводят единицы ее измерения, причем все единицы измерения принято указывать в русском написании и только в системе СИ. Общий десятичный множитель, если он присутствует во всех результатах измерений, помещаемых в данный столбец, выносят в заголовок. Во избежание недоразумений при последующем использовании таблицы, общий множитель записывают перед единицами измерения физической величины. В таблице 2.1 приведены результаты косвенных измерений удельного сопротивления r платины при разных температурах.

Таблица 2.1.Температурная зависимость удельного сопротивления платиновой проволоки.

Графики, более наглядными, чем таблицы, являются графики зависимостей исследуемых физических величин. Графики дают визуальное представление о связи между величинами, что крайне важно при интерпретации полученных данных, так как графическая информация легко воспринимается, вызывает больше доверия, обладает значительной емкостью. На основе графика легче сделать вывод о соответствии теоретических представлений данным эксперимента. Ниже изложены рекомендации по построению графиков.

Выбор бумаги. Графики строят только на бумаге, имеющей координатную сетку. Это может быть обычная миллиметровка с линейным масштабом по осям или логарифмическая бумага. Логарифмическую бумагу используют реже, поэтому отметим, что она бывает двух типов. У бумаги первого типа по одной оси масштаб линейный, по другой – логарифмический. Бумага второго типа имеет логарифмический масштаб по обеим осям.

Распределение осей. Графики, за редким исключением, строят в прямоугольной системе координат, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывают аргумент, независимую физическую величину, а по вертикальной оси (оси ординат) – функцию, зависимую физическую величину.

Выбор масштабов. Обычно график строят на основании таблицы экспериментальных данных, откуда легко установить интервалы, в которых изменяются аргумент и функция. Их наименьшее и наибольшее значения задают значения масштабов, откладываемых вдоль осей. Не следует стремиться поместить на осях точку (0,0), используемую как начало отсчета на математических графиках. Для экспериментальных графиков масштабы по обеим осям выбирают независимо друг от друга и, как правило, соотносят с погрешностью измерения аргумента и функции: желательно, чтобы цена наименьшего деления каждой шкалы примерно равнялась соответствующей погрешности. Масштабная шкала должна легко читаться, а для этого необходимо выбрать удобную для восприятия цену деления шкалы: одной клетке должно соответствовать кратное 10 количество единиц откладываемой физической величины: 10ⁿ, 2ⁿ или 5*10ⁿ , где n – любое целое число, положительное или отрицательное. Так, числа 2; 0,5; 100; 0,02 – подходят, а числа 3; 7; 0,15 – не подходят для этой цели. При необходимости масштаб по одной и той же оси для положительных и отрицательных значений откладываемой величины может быть выбран разным, но только в том случае, если эти значения отличаются не менее чем на порядок, т.е. в 10 раз и более. Примером может служить вольтамперная характеристика диода, когда прямой и обратный токи отличаются не менее, чем в тысячу раз: прямой ток составляет миллиамперы, обратный – микроамперы.

Нанесение шкал. Стрелки, задающие положительное направление, на координатных осях обычно не указывают, если выбрано принятое положительное направление осей: снизу – вверх и слева – направо. Оси подписывают: ось абсцисс – справа внизу, ось ординат – слева вверху. Против каждой оси указывают название или символ откладываемой по оси величины, а через запятую – единицы ее измерения, причем все единицы измерения приводят в русском написании в системе СИ. Числовой масштаб выбирают в виде равноотстоящих по значению «круглых чисел», например: 2; 4; 6; 8 … или 1,82; 1,84; 1,86 … Десятичный множитель масштаба, как в таблицах, относится к единицам измерения, например, вместо 1000; 2000; 3000 … получится 1; 2; 3 … с общим множителем 103 , указанным перед единицей измерения.

Масштабные риски проставляют по осям на одинаковом расстоянии друг от друга, чтобы они выходили на поле графика. По оси абсцисс цифры числового масштаба пишут под рисками, по оси ординат – слева от рисок.

Нанесение точек. Экспериментальные точки аккуратно наносят на поле графика карандашом. Их всегда проставляют так, чтобы они были отчетливо различимы. Если в одних осях строят различные зависимости, полученные, например, при измененных условиях эксперимента или на разных этапах работы, то точки таких зависимостей должны отличаться друг от друга. Их следует отмечать разными значками ( крестиками и т.п.) или наносить карандашами разного цвета.

Расчетные точки, полученные путем вычислений, размещают на поле графика равномерно. В отличие от экспериментальных точек, они должны слиться с теоретической кривой после ее построения. Расчетные точки, как и экспериментальные, наносят карандашом – при ошибке неверно поставленную точку легче стереть. Выносные координатные линии при нанесении точек не используют, так как для этих целей существует сетка миллиметровки, а лишние линии засоряют график, делая его неудобным для восприятия и работы с ним.

На рисунке .2.1 приведена полученная по точкам экспериментальная зависимость, которая построена на бумаге, имеющей координатную сетку.

Рисунок 2.1 - Зависимость коэффициента динамической вязкости воды от температуры.

Проведение кривых. Экспериментальные точки соединяют плавной кривой, чтобы они в среднем были одинаково расположены по обе стороны от проведенной кривой. Если известно математическое описание наблюдаемой зависимости, то теоретическая кривая проводится точно так же. Нет смысла стремиться провести кривую через каждую экспериментальную точку – ведь кривая является только интерпретацией результатов измерений, известных из эксперимента с погрешностью. Есть только экспериментальные точки, а кривая – произвольное, не обязательно верное, домысливание эксперимента. Представим, что все экспериментальные точки соединены и на графике получилась ломаная линия. Она не имеет ничего общего с истинной физической зависимостью! Это следует из того, что форма полученной линии не будет воспроизводиться при повторных сериях измерений.

Напротив, теоретическую зависимость строят на графике таким образом, чтобы она плавно проходила по всем расчетным точкам. Это требование очевидно, так как теоретические значения координат точек могут быть вычислены сколь угодно точно. Правильно построенная кривая должна заполнять все поле графика, что будет свидетельством правильного выбора масштабов по каждой из осей. Если же значительная часть поля оказывается незаполненной, то необходимо заново выбрать масштабы и перестроить зависимость.

Работа с графиками.На основе графического представления исследуемых зависимостей во многих случаях удается провести достаточно полную обработку экспериментальных данных. Подобная обработка всегда проста и наглядна, не требует сложных вычислений, взамен же дает вполне приемлемые по точности результаты. Полезно взять за правило начинать обработку любых данных с графических построений . Впоследствии можно воспользоваться более точными методами статистической обработки, но никакие математические ухищрения не составят конкуренции зримой достоверности графиков.

Считывание точек с графика. Часто возникает необходимость найти из имеющегося графика значение функции y , если задано значение аргумента x. Такое считывание точек требуется, например, при использовании градуированных графиков термопар, и т.п., которые, в свою очередь, строят на основании предварительных измерений или берут из справочников.

Во всех этих случаях координата точки, определяемая из графика, имеет погрешность, сопоставимую с ценой наименьшего масштабного деления.

Экстремум кривой. При дискретных измерениях физической величины, т.е. измерениях при некоторых фиксированных значениях аргумента, исследуемая зависимость не может быть восстановлена полностью. Поэтому особенности кривой, проведенной по экспериментальным точкам, не могут быть выявлены абсолютно точно. Это, в первую очередь, относится к определению координат экстремумов – максимумов и минимумов кривых. Например, кривая может иметь форму, отмеченную, как сплошной, так, и штриховыми линиями. Однако график дает основание утверждать, что максимум находится на отрезке (x1, x3),

Рисунок.2.2- Определение положения экстремума на экспериментальной кривой.

поэтому его координату можно оценить как

x_max= , (2.1)

а за оценку погрешности принять величину

Dx= , (2.2)

Чтобы уменьшить погрешность экспериментального определения координаты экстремума, в близкой к нему области следует выполнять измерения как можно чаще с минимально допустимым шагом изменения величины x. Если оценка оказывается меньше погрешности измерения величины x, то именно погрешность измерения следует принимать за погрешность Dx .

Проверка теоретических выводов. Графическую проверку осуществляют на основе сравнения экспериментальной и теоретической кривых, совместно построенных на одном графике. Для корректности сравнения необходимо учитывать разброс точек экспериментальной кривой. С этой целью на графике по обе стороны от нее проводят дополнительные кривые, симметричные относительно экспериментальной кривой. Выполняя построение дополнительных кривых, необходимо исходить из того, что между ними должна оказаться примерно половина всех экспериментальных точек. Теоретическая кривая, если она соответствует полученным данным, также должна располагаться в промежутке между дополнительными кривыми.

Графическое дифференцирование может понадобиться, например, при вычислении дифференциального сопротивления диода. Вольтамперная характеристика диода не линейна, поэтому его сопротивление зависит от приложенного напряжения, называемого смещением. Понятие статического сопротивления (сопротивления по постоянному току R = U/I) в данном случае лишено физического смысла, поэтому вводят дифференциальное сопротивление, при заданном смещении находимое путем дифференцирования экспериментальной вольтамперной характеристики. Поясним как графически выполнить дифференцирование. Известно, что производная от функции y(x) равна угловому коэффициенту касательной, построенной к кривой y(x) при том же значении аргумента, при котором вычисляется . Поэтому после графического отображения экспериментальной кривой для вычисления производной в некоторой точке достаточно провести на графике касательную к кривой в той же точке и вычислить ее угловой коэффициент, небольшая неточность, допущенная при вычерчивании, может привести к ощутимым ошибкам в производной. Это означает, что экспериментальную кривую следует строить очень тщательно.

Графическое интегрирование. Определенный интеграл от неотрицательной функции y(x) может быть найден как площадь плоской геометрической фигуры, ограниченной на графике прямой x=x₁ слева, прямой x=x₂ справа, кривой y(x) сверху и прямой y=0 снизу. Такая интерпретация является удобной применительно к вычислению интеграла от любой экспериментально полученной зависимости. Площадь фигуры, дающая количественное значение интеграла, находят посредством подсчета составляющих ее клеток миллиметровки с последующим умножением результата подсчета на цену стороны клетки по каждой из двух осей.

Графическое интегрирование можно использовать, например, при проверке закона излучения Стефана-Больцмана, устанавливающего, что интегральная светимость физического тела пропорциональна четвертой степени его температуры. Светимость находят интегрированием экспериментальной кривой, отображающей зависимость спектральной плотности излучения тела от длины волны. Графические дифференцирование и интегрирование дают неплохие по точности результаты, однако основная область их применения относится к качественному анализу исследуемых зависимостей.

Отображение погрешностей измерений на графике. Результаты измерений, на основании которых строят экспериментальные зависимости, содержат погрешности. Чтобы указать их значения на графике, используют два основных способа. Первый - состоит в выборе цены деления масштабной шкалы графика, которая должна равняться погрешности откладываемой по данной оси величины. В таком случае точность измерений не требует дополнительных пояснений. Если достичь соответствия погрешности и цены деления не удается, используют второй способ, заключающийся в прямом отображении погрешностей на поле графика. А именно, вокруг проставленной экспериментальной точки строят два отрезка, параллельные осям абсцисс и ординат. В выбранном масштабе длина каждого отрезка должна равняться удвоенной погрешности величины, откладываемой по параллельной оси. Центр отрезка должен приходиться на экспериментальную точку. Вокруг точки образуются как бы ”усы”, задающие область возможных значений измеряемой величины. Погрешности становятся зримыми, хотя “усы” могут невольно засорить поле графика. Отметим, что указанный способ чаще всего применяют тогда, когда погрешности меняются от измерения к измерению. Иллюстрацией способа служит рисунок 2.3

Завершение работы. График нумеруют, ему дают название, кратко отражающее содержание построенной зависимости. Все графические символы, использованные при построении, поясняют в подписи к графику, которую располагают под графиком или на не занятой кривой части поля.

Правила оформления графиков в учебниках, научных публикациях, монографиях несколько отличаются от изложенных выше, что, в первую очередь, связано с их иллюстративным характером. Большинство таких графиков имеют смысл рисунков, так как на них часто не приводят масштабную сетку и масштабы по осям, не обозначают единицы измерения откладываемых величин.
Рисунок.2.3-Зависимость удельного сопротивления алюминия от температуры.

В большинстве экспериментов используют косвенные измерения. Исследуемую величину f определяют по результатам прямых измерений других физических величин, например, x,y,z,...,с которыми она связана заранее установленным функциональным математическим соотношением:

f = f(x, y, z, …) . (2.1)

Эта связь должна быть известна экспериментатору. Помимо данных прямых измерений, параметрами могут оказаться другие величины, точно заданные или полученные в других измерениях, – они составляют набор исходных данных. Выражение (2.1), записанное в явном виде, называют рабочей формулой и используют как для оценивания результата косвенного измерения , так и для оценивания погрешности измерения Df. Естественно, обе оценки связаны с окончательными результатами прямых измерений ±Dx, ±Dy, ±D z, …… . Обычно, чтобы получить (2.1), используют модельное описание и, во избежание модельных погрешностей при измерении f, оно должно адекватно отражать исследуемое физическое явление. Если модель точна, то модельные погрешности исключены, а косвенное измерение дает надежные результаты. Рассмотрим случай, когда погрешности измерения величин x, y, z, … носят только случайный характер и соответствуют нормальному закону распределения. Кроме этого, погрешность каждого отдельно взятого прямого измерения независима, т.е. не подвержена воздействию случайных факторов, вызывающих погрешности других прямых измерений, выполненных в эксперименте. Такие измерения и сами измеряемые величины носят название статистически независимых, или просто независимых. При выполнении указанных условий среднее значение величины f определяют на основе (2.1), исходя из средних значений величин x, y, z, … :

= f( , , , …..) (2.2)

Если точность прямых измерений достаточно высока, т.е. Dx<< , Dy<< , D z<< , ... ,то погрешности результатов прямых измерений переносятся на результат косвенного измерения как независимые нормальные распределения f вокруг по каждому из аргументов функции (2.1). Строгое обоснование этого утверждения можно найти в математической статистике. Погрешность измерения f вследствие малых случайных вариаций

только величины x: Df_x=f_x'Dx, y: Df_y=f_y'Dy, z: Df_z=f_z'Dz,

где f_x', f_y', f_z'…..– производные функции f(x,y,z,…)по соответствующим переменным, являющиеся частными производными и обозначаемые в виде

f_x'= , f_y'= , f_z'= , …… .(2.3)

Аргументами в вычисленных производных (2.3) служат оценки средних значений , , …. .

Совместное распределение f , которое учитывает отдельные распределения по каждому из аргументов (2.1), должно определять погрешность косвенного измерения D f. Эти распределения нормальны и независимы, поэтому дисперсия их совместного распределения равна сумме их дисперсий, что строго доказано в математической статистике. Тогда среднее квадратичное отклонение совместного распределения, вычисляемое как корень из дисперсии, следует находить из выражения:

. (2.4)

Это выражение имеет общий характер и его можно использовать для оценивания погрешности косвенного измерения, выполненного при любом виде функции f(x,y,z,…). Однако следует твердо помнить, что при непосредственных расчетах в (2.4) необходимо подставлять погрешности Dx, Dy, Dz …., найденные для одного и того же значения доверительной вероятности. Погрешность косвенного измерения также будет соответствовать этому значению доверительной вероятности. Рекомендуется использовать значение вероятности a= 0,68. Применим (2.4) к некоторым распространенным зависимостям. Интерес представляют те случаи, когда с помощью (2.4) удается установить функциональную связь между погрешностями прямых измерений и погрешностью косвенного измерения. Таблица 2.1 содержит выражения, задающие такую связь. В таблице приняты следующие обозначения: D – для абсолютной погрешности, d – для относительной погрешности, A, B, C, a, b, g – постоянные, x, y, z, j – результаты прямых измерений, f – результат косвенного измерения.

Таблица 2.2. Связь погрешностей прямых и косвенных измерений.

Рабочая формула	Формула погрешности

Контрольные вопросы

1. В чем различия прямого и косвенного измерения?

2. Роль моделей при проведении косвенного измерения?

3. Что можно утверждать о природе погрешности результата косвенного измерения, если соответствующие ему погрешности результатов прямых измерений распределены нормально?

4. Напишите общее выражение, используемое для оценивания погрешности косвенного измерения.

5. Как следует проводить кривую по нанесенным на график экспериментальным точкам?

6. В чем достоинства графического представления результатов эксперимента?