МОДУЛЬ 7: «ЕЛЕМЕНТИ ГЕОМЕТРІЇ. ВЕЛИЧИНИ.».

Змістовний модуль 7.3. «Величини та їх вимірювання.».

ПЛАН.

1. Поняття величини та її вимірювання. Відображення властивостей реального світу через поняття величини. Види величин.

2. Поняття довжини відрізка та способів його вимірювання. Основні властивості довжини. Одиниці вимірювання довжини та співвідношення між ними.

3. Поняття площі плоскої фігури, її основні властивості та способи вимірювання. Одиниці вимірювання площі та співвідношення між ними.

4. Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.

5*. Поняття об’єму тіла, його властивостей, способів його вимірювання, одиниць вимірювання та співвідношень між ними. Об’єми многогранників та тіл обертання.

6. Поняття величини та способів її вимірювання у курсі математики початкових класів. Величини початкового курсу математики (маса, ціна, кількість, вартість, швидкість, час, відстань тощо), способи та одиниці їх вимірювання, залежність між одиницями вимірювання.

Література.

[1] – с. 294-382; [2] – с. 269-293.

Поняття величини та її вимірювання. Відображення властивостей реального світу через поняття величини. Види величин.

Такі наукові дисципліни як фізика, механіка, астрономія, хімія, біологія, математика тощо мають справу з величинами. Якщо проводити вивчення природи без величин, то воно обмежиться лише спостереженнями та знаходитиметься на описовому рівні. Кожен об’єкт навколишньої дійсності має багато різноманітних властивостей, які відображаються у певних властивостях. Наприклад, властивість інертності відображається у такій величині як маса, властивість просторової протяжності - у довжині, властивість квадровності – у площі геометричної фігури тощо.

Слід зазначити, що, з одного боку, величини не існують самі по собі, відірвано від матеріальних об’єктів, а з іншого – величини не є самою реальністю. Величини – це правильне відображення реальності, бо вони, в певній мірі, ідеалізують властивості об’єктів і явищ завдяки абстракції, коли відбувається огрублення дійсності, абстрагування від ряду обставин. У самій природі немає довжини, площі, об’єму, сили, швидкості. У процесі практичної діяльності, вивчення явищ природи величини вводяться для пізнання і опису явищ природи, правильно відображаючи властивості об’єктів реального світу.

Поняття величини виникло в результаті абстрагування від якісних особливостей і властивостей реальних об’єктів з метою виділення кількісних відношень. Як правило, вивчення величин призводить до необхідності провести її вимірювання. Отже, ми приходимо до поняття вимірювання величин. Цей процес завершується знаходженням числового значення величини (міри величини) при вибраній одиниці вимірювання. З допомогою вимірювання величин відбувається поєднання теорії з практикою.

Величини дають змогу перейти від описового до кількісного вивчення різноманітних властивостей об’єктів, тобто математизувати знання про природу. Разом з тим, серед властивостей об’єктів є такі, які поки що не навчилися вимірювати, наприклад: воля, страх, любов, сміливість тощо. Порівняння таких величин відбувається на інтуїтивній основі, а виконання арифметичних дій над ними неможливе. Між різними властивостями об’єктів і явищ навколишньої реальності існують різноманітні зв’язки, деякі з яких відображаються в залежностях між відповідними величинами. Ці зв’язки можуть виражатися формулами, наприклад F=ma, S=4πR², V=⁴/₃πR³ тощо. Останнім часом роль величин у вивченні природи невпинно зростає. Так, вони проникають у такі нематематичні науки як педагогіка, психологія, соціологія тощо.

Коли ж виникло поняття величини? - є відомості, що вперше поняття величини з’являється у філософській літературі ще у ІУ столітті до нашої ери, зокрема в працях Аристотеля. Оскільки число виникло спочатку при виконанні операцій лічби та вимірювання, то до ХУІІ століття предметом вивчення були сталі величини. Розвиток фізики та астрономії, які вивчали рухи і процеси, спричинили увагу до вивчення змінних величин. До середини ХІХ століття математика основну свою увагу приділяла вивченню загальних властивостей і відношень об’єктів математичної природи, абстрагуючись від їхнього конкретного змісту і не вивчаючи властивості окремих величин. Незважаючи на сказане, означення поняття величини досить довгий час залишалося на описовому рівні. Для підтвердження сказаного наведемо приклади означень.

Означення Л.Ейлера: величиною називається “все те, що має здатність збільшуватися або зменшуватися”.

Означення О.Д.Александрова: “Величиною взагалі називається така властивість предмета, явища або процесу, яка в якомусь відношенні може бути більшою, або меншою, причому так, що є можливість точного порівняння”.

Лише подальше вивчення величин та їх властивостей призвело до появи аксіоматичного означення величин, з яким ми познайомимося пізніше. Різноманітні величини стали поділяти на певні види, вибираючи для класифікації різноманітні основи, наприклад: скалярні, векторні, тензорні, архімедові, неархімедові тощо. У подальшому ми більш детально познайомимося з окремими класами величин.

Для поділу величин на класи оберемо за основу те, за допомогою чого характеризується величина. Так, у математиці та фізиці найчастіше зустрічаються два види величин. Введемо їхні означення.

Означення 1: скалярними (від латинського scala – східці, шкала) називають такі величини, які повністю характеризуються числовим значенням, тобто числом.

Означення 2: векторними (від латинського vektor – тягти у певному напрямку) називають такі величини, які повністю характеризуються і числовим значенням, і напрямком дії.

Прикладом перших величин є довжина, маса, площа, об'єм тощо. Прикладом векторних величин є сила, прискорення, швидкість тощо. Оскільки математика здебільшого має справу із скалярними величинами, то в подальшому більш детально познайомимося із скалярними величинами. Зазначимо, що із наведених нами означень незрозуміло, а що ж таке “величина”. Саме тому, переходимо до виявлення сутності цього поняття. Означення аддитивно-скалярних величин можна ввести різними способами: 1) за допомогою поняття дійсного числа як функції із заданими властивостями; 2) за допомогою системи аксіом. Для наших потреб краще використати другий спосіб. Враховуючи сутність аксіоматичної побудови теорії, зазначимо, що основним об’єктом буде поняття “величина”, а основним відношенням – відношення доданків до суми. Крім того, перед введенням аксіоматичного означення поняття величини розкриємо сутність поняття “однорідні величини”.

Означення 3: однорідними називаються такі величини, які характеризують одну і ту саму якість об’єктів.

Прикладами однорідних величин є усі довжини відрізків, усі маси тіл, усі площі, всі об’єми тощо. Для будь-яких однорідних величин слід встановити відношення рівності (а=b) і нерівності (a<b або a>b). Встановлені відношення дають змогу порівнювати однорідні величини. Так, довжини або площі можна порівнювати накладанням, маси тіл – за допомогою терезів тощо. Якщо в системі однорідних величин визначена операція додавання однорідних величин, що дає змогу замінити дві однорідні величини а і b їхньою сумою а+b, то така система величин називається системою адитивно-скалярних величин. Суму n однакових доданків а+а+а+...+а будемо позначати nа. Тепер введемо поняття системи адитивно-скалярних величин.

Означення 4: системою однорідних адитивно-скалярних величин називається система величин М={a, b, c, ...}, для якої справедливі наступні аксіоми:

Аксіома 1: для довільних двох величин а і b із системи М виконується одне і тільки одне з трьох співвідношень: 1) a<b; 2) a=b; 3) a>b (символічно ця аксіома запишеться так: [("а,bєМ)(а<bÚа=bÚа>b)]).

Аксіома 2 (транзитивність нерівності): для будь-яких трьох однорідних величин а, b і с із системи М із того, що а<b і b<c випливає а<с (символічно: [("а,b,сєМ)(а<bÙb<c)Þа<c)]).

Аксіома 3 (існування та єдиність суми): для будь-яких двох однорідних величин а і b із системи М завжди існує єдина величина с цього ж роду із системи М така, що с=а+b (символічно: ("а,bєМ)($!сєМ)(c=а+b)]).

Аксіома 4 (комутативність додавання): для будь-яких двох однорідних величин а і b із системи М справедлива рівність а+b=b+a (символічно: [("а,bєМ) (а+b=b+а)]).

Аксіома 5 (асоціативність додавання): для будь-яких трьох однорідних величин а, b і с із системи М справедлива рівність: (а+b)+с=а+(b+c) (символічно: [("а,b,сєМ) ((а+b)+с=а+(b+с))]).

Аксіома 6: існує нульова величина (величина, що дорівнює нулю), яку позначають 0 і яка має наступні властивості: 1) ("аєМ)(а¹0)Þа>0); 2) ("аєМ)(а+0=а); 3) ("аєМ)(а×0=0).

Аксіома 7(монотонність додавання): для будь-яких однорідних величин а і b¹0 із системи М їх сума завжди більша а (символічно: [("а,bєМ)(b¹0)(а+b>а)]).

Аксіома 8 (виконуваність і єдиність віднімання): для будь-яких однорідних величин а і b із системи М, таких, що а³b, завжди існує в множині М єдина величина с цього ж роду така, що b+c=а (символічно: [("а,bєМ)($!сєМ)(а³bÞb+с=а)]).

Аксіома 9 (виконуваність і єдиність ділення): для будь-якої однорідної величини а із системи Мі натурального числа n завжди існує єдина однорідна величина b із системи М така, що n×b=а (символічно: [("аєМ)("nєN)($!bєМ)(n×b =а)]).

Аксіома 10 (аксіома Архімеда): для будь-яких однорідних величин а і b>0 із системи Міcнує натуральне число n таке, що а<n×b (символічно: [("а,bєM)(b>0)($nєN)(a<n×b)]).

Аксіома 11 (аксіома неперервності): для двох послідовностей однорідних величин а₁, а₂, а₃,...,а_n і b₁, b₂, b₃,...,b_n із системи Мтаких, що а₁<а₂<а₃<...<а_n<…b_n<…<b₃<b₂<b₁ завжди існує така величина с із множини М, яка більша від усіх а_n і менша, ніж усі b_n.

Можна наступним чином розтлумачити зміст деяких аксіом. Так, в аксіомі 6 вводиться для зручності поняття нульової величини. Це означає, що не слід виключати випадок існування відрізка, довжина якого дорівнює нулю (в цьому випадку початок і кінець відрізка співпадають), нульового квадрата, нульового куба тощо. Відповідно до аксіоми 9 будь-яку задану величину а при довільному nєN можна представити у вигляді суми b+b+b+...+b n доданків, кожен із яких дорівнює b, тобто розбити на n рівних частин.

Потреба у вимірюванні виникла з першими кроками трудової діяльності людини. Саме тому, з виникненням величин постала проблема виявлення сутності процесу вимірювання. У процесі практичного вимірювання люди дійшли висновку, що для проведення вимірювання необхідно мати об’єкт вимірювання (що вимірювати) та одиницю вимірювання (чим вимірювати). Для вимірювання певних груп величин необхідно мати ще й деякий вимірювальний пристрій (рулетка, терези, динамометр, вольтметр тощо). Першими вимірювальними інструментами людини слугували пальці рук і ніг, частини тіла (стопа, лікоть). Виміряти якусь величину – це означає порівняти її з іншою величиною цього самого роду, яка прийнята за одиницю вимірювання. Вимірювання величин може виконуватися різними способами: безпосередньо (наприклад, накладанням при вимірювання довжини відрізка чи площі) чи опосередковано з допомогою формул (наприклад, площа прямокутника вимірюється за формулою S=ab, об'єм циліндра – V=πR²H). Введемо означення.

Означення: будемо говорити, що на деякій множині М однорідних величин встановлена система вимірювання, якщо кожній величині а із множини М поставлено у відповідність невід’ємне дійсне число m_e(a), яке називається її мірою, так, що виконуються наступні аксіоми:

Аксіома 1: міра будь якої величини а із системи М невід’ємна (символічно цю аксіому можна записати так: [("аєМ)(m_е(а)³0)]).

Аксіома 2: рівні величини мають рівні міри (символічно цю аксіому можна записати так: [("а,bєМ)(а~b)«(m_е(а)=m_е(b))]).

Аксіома 3: у системі М існує величина е така, що її міра дорівнює 1 (символічно: [($еєМ)(m(е)=1)]).

Аксіома 4: міра величини а із системи М дорівнює сумі мір величин b і c із цієї ж системи, на які можна розбити дану величину (символічно: [("а,b,сєМ)(а=b+с)®(m_е(а)=m_е(b)+m_е(с))]).

Аксіома 5: якою б великою не була величина а із множини М і якою б малою не була величина b із цієї ж множини, завжди знайдеться деяке дійсне число a таке, що величина а менша за величину ab (символічно: [("а,bєМ)($aєR)(а<ab)®(m_е(а)< am_е(b))]).

Ми сформулювали означення та відповідні аксіоми, які задають на множині однорідних величин систему вимірювання величин. Ці аксіоми називають аксіомами міри величини. Разом з тим, проводячи вимірювання величин, ми можемо зустрітися принаймні з такими випадками:

1) вибрана одиниця вимірювання е вкладається у величині а ціле число разів. В цьому випадку процес вимірювання є скінченним, а результат вимірювання, тобто міра величини m_е(а), виражається цілим числом;

2) вибрана одиниця вимірювання е не вкладається у величині а ціле число разів, але існує деяке натуральне число n, що m_е(а)=^m/_n, причому у величині а ціле число разів вкладеться нова одиниця вимірювання е₁=^е/_n, де m і n – натуральні числа. В цьому випадку процес вимірювання також є скінченним, але результат вимірювання, тобто міра величини m_е(а), виражається дробовим, тобто раціональним числом;

3) вибрана одиниця вимірювання е не вкладається у величині а ціле число разів і не існує натурального числа n такого, щоб m_е(а)=^m/_n , де m і n – натуральні числа. В цьому випадку процес вимірювання є нескінченним, але в математиці доведено, що і в цьому випадку результат вимірювання, тобто міра величини m_е(а), існує і виражається дійсним числом.

У перших двох випадках величини називають сумірними, тобто такими, які мають спільну міру, а в третьому випадку ми маємо справу з несумірними величинами. В останньому випадку результат вимірювання виражається невід’ємним ірраціональним числом, а в перших двох – невід’ємним раціональним числом.