Побудова правильних многогранників.

4. Із шкільного курсу геометрії відомо, що навколо правильного многокутника завжди можна описати коло. Саме тому задача на побудову правильного многокутника зводиться до поділу кола на n-рівних частин циркулем і лінійкою. Не викликає труднощів поділ кола на 3, 4, 6, рівних частин, а отже і побудова правильних трикутника, чотирикутника, шестикутника. А чи будь-який правильний многокутник можна побудувати циркулем і лінійкою? – відповідь на це запитання дає доведена в математиці теорема, згідно з якою циркулем і лінійкою можна побудувати правильні многокутники з числом сторін 3, 4, 5, 6, 8 тощо. Разом з тим, не можна побудувати циркулем і лінійкою правильні многокутники з числом сторін 7, 9, 11 та ін. Їх будують наближено.

МОДУЛЬ 7: «ЕЛЕМЕНТИ ГЕОМЕТРІЇ. ВЕЛИЧИНИ.».

Змістовний модуль 7.2. «Многогранники та тіла обертання.».

ПЛАН.

1. Геометричні фігури, їх означення, властивості та ознаки. Поняття многогранника, його елементів, види многогранників (призма, паралелепіпед, піраміда) та їх зображення на площині. Теорема Л.Ейлера.

2. Правильні многогранники та їх види.

3. Поняття тіла обертання, їх види (циліндр, конус, куля. сфера) та їх зображення на площині.

Література.

[1] – с. 294-382; [2] – с. 269-293.

Геометричні фігури, їх означення, властивості та ознаки. Поняття многогранника, його елементів, види многогранників (призма, паралелепіпед, піраміда) та їх зображення на площині. Теорема Л.Ейлера.

1. Розглядаючи точкові множини, ми зазначали, що геометричною фігурою називається будь-яка не порожня множина точок. Крім точок в геометрії розглядається дуже багато геометричних фігур, які необхідно означати. Означення геометричних фігур потрібні для того, щоб виділити потрібну геометричну фігуру серед інших. Зробити це можна, перевіривши виконання вимог означення, але це не завжди зручно. Саме тому в математиці доводяться теореми, які одержали назву ознак. Вони дають можливість шукати відповідь на запитання: «чи належить розглядуваний об’єкт до цього класу фігур?». Прикладом таких теорем є ознаки паралелограма, ознаки паралельності чи перпендикулярності тощо.

Як відомо, всякий математичний об'єкт володіє певними властивостями, які поділяють на істотні, тобто такі, без яких об’єкт не може існувати, та на не істотні. Кожне поняття має обсяг, тобто множину всіх об’єктів, що позначаються одним терміном, та зміст, тобто множину всіх істотних властивостей об’єкта, які відображені в цьому понятті. Під означенням поняття розуміють логічну операцію, за допомогою якої розкривається зміст поняття або встановлюється значення терміну. Перейдемо до розгляду просторових геометричних фігур, серед яких найпростішими є многогранники.

Означення: многогранником називається тіло, поверхня якого складається із скінченого числа плоских многокутників.

Плоскі многокутники, які утворюють поверхню многогранника, називаються його гранями; сторони граней називаються ребрами, а вершини граней - вершинами многогранника.

Означення: многогранник називається опуклим, якщо всі його точки лежать по одну сторону від площин, що містить будь-яку з його граней.

Означення: правильним називається опуклий многогранник, у якого всі грані рівні, правильні многогранники і всі многогранні кути рівні.

Означення: многогранник називається простим, якщо виконуються наступні умови: 1) його поверхня складається із одного куска; 2) його поверхня шляхом неперервної деформації може бути перетворена в сферу.

Після того, як певне математичне поняття означене, приступають до вивчення його властивостей. Властивості формулюються у вигляді теорем, які потребують доведення. Розглянемо деякі теореми, що виражають властивості многогранників.

Теорема (Л.Ейлера): у будь-якого простого многогранника сума числа граней і вершин на два більша числа його ребер.

Якщо позначити число вершин многогранника українською літерою В, число граней – літерою Г, число ребер – літерою Р, то сформульована теорема символічно запишеться так: B+Г-P=2. Справедливість цієї теореми ми приймемо без доведення.

Розглянемо види многогранників, з якими Ви знайомилися в курсі математики середньої школи.

Означення: призмою називається многогранник, який складається із двох плоских многокутників, що суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, які сполучають відповідні точки цих многокутників.

Ці многокутники називаються основами, а відрізки, які сполучають вершину з точками основи, - бічними ребрами призми (див. мал. № 12). Із властивостей паралельного перенесення випливають наступні властивості призми: 1) основи призми рівні; 2) основи призми лежать у паралельних площинах; 3) бічні ребра призми паралельні; 4) бічні ребра призми рівні; 5) бічні грані призми є паралелограмами.

А₁ В₁ Основи призми – АВС, А₁В₁С₁;

Бічні ребра – АА₁, ВВ₁, СС₁;

Висота призми – АА₁.

С₁

А В

С

Малюнок № 12. Трикутна призма.

Означення: висотою призми називається відстань між площинами її основ.

Означення: діагоналлю призми називається відрізок, що сполучає дві вершини, які не належать одній грані.

Означення: діагональним перерізом призми називається переріз площиною, яка проходить через два бічних ребра, що не належать одній грані.

Означення: призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні основі.

Означення: пряма призма називається правильною, якщо її основи є правильними многокутниками.

S ABC – основа піраміди.

Точка S – вершина піраміди.

Точка О – центр ABC (точка перетину медіан)

SO – висота піраміди

SA, SB, SC – бічні ребра

A C

O

B

Малюнок № 13. Трикутна піраміда.

Означення: паралелепіпедом називається призма, основами якої є паралелограми.

Означення: паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до площини основи.

Означення: прямий паралелепіпед називається прямокутним, якщо його основа є прямокутник.

Означення: пірамідою (див. малюнок 13) називається многогранник, який складається з плоского многокутника – основи піраміди, точки, що не лежить в площині основи, - вершини піраміди, і всіх відрізків, що сполучають вершину з точками основи.

Означення: висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.

Означення: піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти співпадає з центром цього многокутника.