Тотожні перетворення виразів. Тотожності. Виведення основних тотожностей.

4. У математиці досить часто доводиться перетворювати вирази, що містять змінну. Особливу увагу при цьому мають перетворення, які не змінюють значення виразу.

Означення: Два вирази f(х) і g(х) називаються тотожньо рівними на множині Х, якщо виконуються наступні умови: 1) множини допустимих значень змінної в цих виразах співпадають; 2) для будь-якого числа х₀єХ справджується рівність f(х₀)=g(х₀).

Якщо сполучити два тотожно рівних вирази знаком рівності, то одержимо запис, який називають тотожністю. Наприклад, 5а+b=b+5а. Заміну одного виразу іншим, тотожньо рівним йому, називають тотожнім перетворенням виразу. Наприклад, вираз а²+2аb+b² можна замінити тотожно рівним йому виразом (а+b)². Твердження про тотожну рівність виразів є висловленнями, бо про такі вирази можна говорити хибні вони чи істинні. Для їх запису можна використовувати квантори. Наприклад, для наведеної вище тотожності можна використати квантор загальності і символічно записати тотожність так: ("а,b)(а²+2аb+b²=(а+b)²).

У математиці доведено цілий ряд тотожностей, які широко використовуються при тотожних перетвореннях виразів та при розв’язуванні рівнянь і нерівностей. До них відносять принаймні наступні:

1) (а+b)²=а²+2аb+b² - квадрат суми двох чисел дорівнює квадрату першого числа плюс подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа. Для виведення цієї тотожності зробимо такі перетворення: (а+b)²=(а+b)(а+b)=а²+аb+ab+b²=а²+2аb+b². Отже, тотожність (а+b)²=а²+2аb+b² доведено;

2) (а-b)²=а²-2аb+b² - квадрат різниці двох чисел дорівнює квадрату першого числа мінус подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа. Пропонуємо студентам вивести цю тотожність самостійно, виконавши завдання для самостійної роботи;

3) а²-b²=(а-b)(а+b) – різниця квадратів двох чисел дорівнює добутку їх різниці на їх суму;

4) (а+b)³=а³+3а²b+3аb²+b³ - куб суми двох чисел дорівнює кубу першого числа плюс потроєний добуток квадрата першого числа на друге число плюс потроєний добуток першого числа на квадрат другого числа плюс куб другого числа. Доведення цієї тотожності проводиться аналогічно до першої, тобто (а+b)³=(а+b)(а+b)²=(а+b)(а²+2аb+b²)=а³+2а²b+аb²+а²b+2аb²+b³=а³+3а²b+3аb²+b³. Тотожність доведено;

5) (а-b)³=а³-3а²b+3аb²-b³ - куб різниці двох чисел дорівнює кубу першого числа мінус потроєний добуток квадрата першого числа на друге число плюс потроєний добуток першого числа на квадрат другого числа мінус куб другого числа. Доведення цієї тотожності проводиться аналогічно до попередньої, а тому пропонуємо це зробити самостійно;

6) а³-b³=(а-b)(а²+аb+b²) – різниця кубів двох чисел дорівнює різниці цих чисел помноженій на неповний квадрат суми цих чисел. Для доведення цієї тотожності візьмемо ліву частину рівності та розкриємо в ній дужки. Маємо: (а-b)(а²+аb+b²)=а³+а²b+аb²-а²b-аb²-b³=а³-b³. Тотожність доведено;

7) а³+b³=(а+b)(а²-аb+b²) – сума кубів двох чисел дорівнює сумі цих чисел помноженій на неповний квадрат різниці цих чисел. Доведення цієї тотожності пропонуємо провести самостійно;

8) cos²α+sin²α=1;

9) tgα=sinα/cosα;

10) ctgα=cosα/sinα.