Непрерывное наращение и дисконтирование

До сих пор мы рассматривали в качестве процентного периода некоторый фиксированный промежуток времени (год, квартал, месяц, день). Уменьшая этот промежуток (до часа, минуты, секунды) и увеличивая частоту начисления процентов, можно перейти к непрерывному наращению процентов.

Пусть номинальная годовая ставка равна i.

При начислении процентов раз в году по ставке эффективная годовая ставка

Таким образом, за год сумма увеличится в раз. При все более частом наращении процентов, т.е. при → ∞, используя второй замечательный предел, получим:

где - число Эйлера (основание натурального логарифма), 2,718.

Таким образом, непрерывным наращением по ставке называется увеличение суммы в раз за один год или в общем случае в раз за лет.

Процентную ставку, применяемую при непрерывном начислении процентов, называют сила роста и обозначают . Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени.

В общем случае, формула непрерывного наращения процентов имеет вид:

. (3.8)

Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, обозначим силу роста . Тогда формула непрерывного начисления процентов примет вид:

(3.9)

Эта формула верна и для случая, когда не является целым числом.

Пример. На сумму 10 000 рублей начисляются проценты по ставке 8% годовых. Определить наращенную сумму через 3,5 года.

Решение:

Используя формулу (3.9), можно получить формулу непрерывного дисконтирования:

(3.10)

Пример.Какую сумму следует поместить на банковский депозит, чтобы через 5 лет получить 300 000 рублей, если проценты начисляются непрерывно по ставке 8%?

Решение: