Комплексный чертёж точки.

Наибольшее применение на практике получил чертёж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемой фигуры. Такой чертёж называется комплексным чертежом в ортогональных проекциях или комплексным чертежом.

Принцип образования чертежа состоит в том, что данная фигура проецируется ортогонально на 2 взаимно ^-е плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с плоскостью чертежа.

Одна из плоскостей проекций располагается горизонтально, обозначается П₁и называется горизонтальной плоскостью проекций.

2-я плоскость располагается вертикально перед наблюдателем, обозначается П₂ – фронтальная плоскость проекций. Прямая пересечения плоскостей – ось проекций.

А₁ – горизонтальная проекция А₂ – фронтальная проекция

h_А – высота точки А

f_А – глубина т.А

Спроецируем ортогонально на плоскости проекций П₁ и П₂ какую-нибудь

точку А, тогда получим две её проекции: горизонтальную проекцию А₁ на плоскости П₁ и фронтальную проекцию А₂ на плоскости П₂. Проецирующие прямые AA₁ и АА₂, при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость A₁AA₂, перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций X. Прямые A_хA₁ и А_хА₂, являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций П₁ и П₂, будут перпендикулярны к оси проекций X.

Обратно, каждая пара точек А₁ и А₂, соответственно принадлежащих плоскостям П₁ и П₂ и расположенных на перпендикулярах к оси X, восставленных из одной и той же точки А_х, определяют в пространстве единственную точку А. В самом деле, если провести через точку A₁ и А₂ перпендикуляры А₁А и А₂А соответственно к плоскостям П₁ и П₂, то они, находясь в одной плоскости А₁А_хА₂, пересекутся в некоторой точке А. Расстояние A₁А точки А от горизонтальной плоскости проекций называется высотой h точки А, ее расстояние А₂А от фронтальной плоскости проекций – глубиной f точки А.

Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций П₁ с плоскостью П₂, вращая переднюю полуплоскость П₁ вокруг оси Х вниз. В результате получим комплексный чертеж точки А (рис. 4), состоящий из двух проекций А₁ и А₂ точки А, лежащих на одной прямой, перпендикулярной к оси X. Прямая А₁А₂, соединяющая две проекции точки, называется вертикальной линией связи.

Полученный комплексный чертеж будет обратимым, т.е. по нему можно восстановить оригинал. В самом деле, рассматривая, например, фронтальную проекцию А₂ точки А и имея на чертеже ее глубину f=А_хА₁, можно построить точку А. Для этого надо восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А₂ и от плоскости чертежа отложить глубину искомой точки, тогда конец перпендикуляра определит положение точки А.

На практике часто бывает безразличным положение изображаемой фигуры относительно неподвижной системы плоскостей проекций, поэтому при образовании комплексного чертежа можно отказаться от фиксации плоскостей проекций и оси проекций не изображать. Основанием этому может служить отмеченное шестое свойство параллельной проекции не изменять проекции фигуры при параллельном переносе плоскости проекций.

Плоскости проекций П₁ и П₂ разбивают все пространство на четыре части, называемые квадрантами или четвертями. При этом условимся нумеровать квадранты в порядке, указанном на рис., и называть их I, II, III и IV квадрантами.

Рис. 5 Двухкартинный комплексный чертёж

Если точка А лежит в I квадранте, то ее горизонтальная проекция A₁ будет принадлежать передней полуплоскости П₁, а фронтальная проекция А₂ - верхней полуплоскости П₂. При совмещении плоскостей проекций горизонтальная проекция A₁ точки А окажется расположенной ниже оси Х₁₂, а фронтальная проекция А₂ - выше оси Х₁₂ (рис. 5). В зависимости от положения точек в различных квадрантах пространства будем иметь соответствующее расположение их проекций на комплексном чертеже (рис. 5), так же как и обратно: по расположению проекций можно судить о том, в каком квадранте лежит точка.

Итак, комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций (называемый еще двухкартинным чертежом), является обратимым чертежом. Однако реконструкция оригинала часто становится проще, когда помимо двух основных проекций имеется еще одна проекция на третью плоскость. В качестве такой плоскости проекций применяется плоскость, перпендикулярная к обеим основным плоскостям П₁ и П₂, которая называется профильной плоскостью проекций. Ее обозначают П₃. Три плоскости проекций П₁, П₂ и П₃ образуют систему трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 6). Ребра полученного трехгранника будем обозначать через X, У, Z.

Рис. 6

П₃ – профильная плоскость проекций А₃ – профильная проекция т.А р_А – широта т.А трёхкартинный комплексный чертёж т.А

Рассмотрим построение трехкартинного комплексного чертежа. Пусть А - некоторая точка пространства. Опустим из точки А перпендикуляры на плоскости проекций П₁, П₂ и П₃: АА_i^П_i (i = 1, 2, 3). Основания этих перпендикуляров (точки А₁, А₂, А₃) и являются соответственно горизонтальной, фронтальной и профильной проекциями точки А в системе плоскостей проекций П₁, П₂ и П₃. Заметим при этом, что проецирующие плоскости AA₁A₂, AA₁A₃ и АА₂А₃ перпендикулярны соответственно осям X, У, Z. Обозначив точки пересечения этих плоскостей с осями через А₁₂, А₁₃, А₂₃, заметим, что как прямые A₁A₁₂ и А₁₂А₂ перпендикулярны к оси X, так и две другие пары прямых A₁A₁₃, А₁₃А₃ и А₂А₂₃, А₂₃А₃ должны быть перпендикулярны соответственно осям Y и Z. Расстояние точки А от горизонтальной плоскости проекций П₁ мы назвали ранее высотой точки А, а расстояние точки А от фронтальной плоскости проекций П₂ - ее глубиной; расстояние точки А от профильной плоскости проекций П₃ будем называть широтой точки А.

При построении плоского чертежа плоскость П₂ считается неподвижной, а остальные плоскости П₁ и П₃ совмещаются с ней путем вращения соответственно вокруг осей Х и Z в направлении, указанном на рис. стрелками. После совмещения плоскости П₁ с фронтальной плоскостью П₂ отрезки А₁А₁₂^Х₁₂ и A₁₂A₂^X₁₂ окажутся расположенными на одной прямой. Аналогично после совмещения плоскости П₃ с плоскостью П₂ отрезки A₂A₂₃^Z₂₃ и А₂₃А₃^Z₂₃ расположатся на линии связи А₂А₃^Z₂₃.

В результате указанного совмещения плоскостей проекций получаем комплексный чертеж точки А, состоящий из трех ортогональных проекций (трехкартинный). При этом линии связи должны быть перпендикулярны к осям: А₁А₂^Х₁₂, А₂А₃^Z₂₃, а отрезки А₁А₁₂и А₂₃А₃равны, ибо А₁А₁₂= А₂₃А₃=А₂А есть глубина точки А.

Рассмотрим, какой линией связи можно соединять горизонтальную и профильную проекции точки А. Для этого обратим внимание на квадрат А₁₃ОА₃А*. Диагональ этого квадрата является биссектрисой угла Х₁₂ОZ₂₃. Следовательно, линия связи, соединяющая проекции А₁ и А₃, представляет собой ломаную линию с вершиной на биссектрисе угла Х₁₂ОZ_23, состоящую из двух звеньев (горизонтального и вертикального). В дальнейшем эту линию будем называть горизонтально-вертикальной линией связи. Часть этой ломаной заменяют иногда дугой окружности.

Введенная система трех плоскостей проекций П₁, П₂ и П₃ разбивает все пространство на восемь частей, называемых октантами. Их нумеруют следующим образом: слева от профильной плоскости октанты сохраняют нумерацию квадрантов, а справа от плоскости П₃ идут номера 5, 6, 7 и 8. При совмещении плоскостей проекций передняя часть горизонтальной плоскости опускается вниз, а задняя поднимается вверх; передняя часть профильной плоскости удаляется от нас направо, а задняя приближается слева.

Множество горизонтальных проекций всех точек пространства назовем полем горизонтальных проекций П₁ (соответствующая проекция фигуры называется видом сверху), а множество фронтальных проекций всех точек пространства - полем фронтальных проекций П₂ (соответствующая проекция фигуры называется видом спереди или главным видом). Аналогично множество профильных проекций всех точек пространства назовем полем профильных проекций П₃(соответствующая проекция фигуры называется видом слева).

Чтобы иметь возможность точного построения комплексных чертежей каких-либо фигур, необходимо уметь задавать положения проекций точек, определяющих данные фигуры, при помощи чисел. Для этого, как известно, следует пользоваться координатным методом. Рассмотрим трехгранник, образованный системой плоскостей проекций П₁, П₂ и П₃. На осях X, У, Z установим единицу измерения е. За начало отсчета примем точку О пересечения трех плоскостей проекций (вершину трехгранника). Положительное направление на каждой оси установим, как показано на рис. Тогда трехгранник OXYZ можем рассматривать как прямоугольную декартову систему координат с координатными осями: Ох - ось абсцисс, Оу - ось ординат, Oz - ось аппликат.

Ломаная ОА₁₂А₁А, определяющая положение точки А относительно координатной системы OXYZ, называется, как, уже было сказано ранее, координатной ломаной линией. Звенья этой ломаной называются отрезками координат: ОА - отрезок абсциссы, А₁₂А₁ - отрезок ординаты, А₁А - отрезок аппликаты точки А. Длины отрезков координат точки А, измеренные установленной единицей длины е, называются координатами точки А:

Координаты точки А можно рассматривать, как ее расстояния до плоскостей проекций, поэтому координаты будут иметь следующие значения: Z_А- высота, Y_A - глубина, Х_A - широта точки А. Координаты точки называются определителем точки.

По заданным координатам точку А(Х_А,Y_A,Z_A) можно построить следующим образом. Сначала с помощью единицы длины е строится отрезок OA₁₂, затем отрезок A₁₂A₁, параллельный оси Y, и, наконец, отрезок А₁А, параллельный оси Z. В результате получаем точку А.

6. Комплексный чертёж прямой линии

Пусть в I четверти расположен отрезок прямой l не параллельный и не перпендикулярный ни к одной из плоскостей проекций. Для построения его ортогональных проекций возьмём на прямой 2 точки и спроецируем их на П₁и П₂. Полученные проекции точек и определяют искомые проекции отрезка прямой.

Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

К прямым частного положения относятся параллельные или ^-ые какой-либо плоскости проекций.

Прямая, //-ая какой-либо плоскости проекций, называется прямой уровня.

//-ая П₁ – горизонталь,

//-ая П₂ – фронталь,

//-ая П₃ – профильная прямая уровня.

Прямая уровня на плоскость проекций, которой она параллельна, проецируется без искажений в натуральную величину. При этом её проекция на этой плоскости с осями координат образует углы, равные углам наклона этой прямой к соответствующим плоскостям проекций.

Для задания профильной прямой уровня необходимо задавать на ней проекции двух точек.

Прямая, ^-я какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей прямой.

^-я к П₁ – горизонтально проецирующая,

^-я к П₂ – фронтально проецирующая,

^-я к П₃ – профильно проецирующая.

2 точки, проекции которых на какую-либо плоскость проекций совпадают, называются конкурирующие точки.

Если совпадают горизонтальные проекции – горизонтально конкурирующие.

Из двух горизонтально конкурирующих точек на П₁ будет видна та, фронтальная проекция которой находится выше от оси х₁₂.

Из двух фронтально конкурирующих точек на П₂ будет видна та, горизонтальная проекция которой находится дальше от оси х₁₂.

7. Определение натуральной величины отрезка прямой

Натуральная величина отрезка прямой является гипотенузой прямоугольного треугольника одним катетом которого служит проекция отрезка на какую-либо плоскость проекций, а другим катетом разность расстояний концов этого отрезка до этой плоскости проекций.

Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 2109;