Закон сохранения количества движения (импульса)

Определение: - количество движения определяет инерцию системы.

Второй закон Ньютона можно записать в форме:

(если масса не меняется)

Или в более общем случае:

F – скорость генерации субстанции.

Рассмотрим движение жидкости (газа).

В общем случае изменение количества движения (КД) в элементарном объеме может происходить за счет 2-х причин:

1) разности входящего и выходящего потока количества движения, которая рассчитывается с помощью 1-го и 2-го слагаемых уравнения (1.1);

2) генерации КД, вызванной действием сил, приложенных к жидкости в элементарном объеме.

Рассмотрим действие первой причины.

КД можно считать видом субстанции. Поток субстанции через площадку S можно записать в виде:

Поток КД через площадку вдоль оси ОХ:

входящий:

KD в расчете на единицу объема ж-ти

Объем жидкости, входящий в элементарный объем

выходящий:

Рассмотрим вторую причину изменения КД – действие сил.

Существует два типа сил: объемные силы и поверхностные силы.

Объемные силы приложены ко всему объему: сила гравитации (ρg), электрическая сила, если объем заряжен (qE).

Поверхностные силы действуют на поверхность тела: сила давления , силы трения или внутреннего напряжения.

В общем случае к разным поверхностям, ограничивающим тело, могут быть приложены разные напряжения.

Напряжение – это вектор. Он имеет свои составляющие, направленные по осям Оx, Оy и Оz. Например, напряжение, приложенное к плоскости, перпендикулярной оси Ох:

имеет координаты , и . Совокупность трех векторов, описывающих напряжения, приложенные к трем плоскостям, ограничивающим элементарный объем, называется тензором. Для того, чтобы описать тензор, надо задать 3 вектора, или 9 скалярных чисел:

Первый индекс обозначает площадку, а второй – ось, на которой берется проекция вектора.

- рассматривается площадка, перпендикулярная оси Ox и берется проекция вектора, приложенного к этой площадке, на ось Oy.

Ск-ть прироста KD в расчете на единицу объема

Прирост KD за счет изменение давления на длине Δx

Прирост KD за счет внутренних сил трения или напряжения

Прирост KD за счет объемных сил

Прирост KD за счет конвективного переноса

В общем случае можно получить следующее уравнение, при условии, что жидкость несжимаема ( → ):

(1.7)

Уравнение (1.7) называется уравнением динамики сплошной среды в напряжениях.

Рассмотрим плоскость вдоль оси Ox. Для ньютоновских жидкостей справедливо следующее реологическое уравнение:

(1.8)

где μ – динамическая вязкость жидкости. (Ур.(1.8) можно интерпретировать т.о.: сила трения между двумя параллельно движущимися слоями жидкости пропорциональна разности скоростей движения этих слоев и обратно пропорциональна толщине прослойки между ними.)

Подставим (1.8) в(1.7):

(1.9)

где - кинематическая вязкость

(1.9)- уравнение Навье – Стокса.

Задача 1: выписать уравнение Навье - Стокса в проекциях на оси x, y, z.

Уравнение Навье-Стокса в векторной форме:

Задача. Вывести уравнение Пуазеля – распределение скоростей течения жидкости между двумя параллельными пластинами.

Принять, что течение является стационарным, установившимся, ламинарным, и на поверхности стенки выполняется условие прилипания. Объемными силами пренебречь.

1. Стационарность течения дает условие:

2. Ламинарное течение: . Жидкость течет параллельно стенкам, слоями.

3. Установившееся течение:

Давление – является линейной функцией от продольной координаты.

– условие прилипания.

Введем безразмерную координату: .

Для круглой трубы с радиусом a

Задача

Дачник собирается купить шланг для полива. Давление воды в водопроводе равно 3 бар. Максимальная длина шланга 30 м. Дачник хочет иметь такой расход, чтобы ведро воды (10 л) наполнялось за 10 с. Какой радиус должен иметь шланг?

(Кинематическая вязкость воды)

Дано:

Давление воды на входе шланга: p = 3 бар.

Давление воды на выходе = 1 атмосфера ≈ 1 бар = 1 10⁵ = 10⁵ = 10⁵