Область определения и область значений функции

Областью определения числовой функции (ООФ) называется множество числовых значений, которые может принимать аргумент x, так чтобы функция имела смысл.

ООФ – это основная характеристика любой функции, с учетом которой исследуются все остальные характеристики;

ООФ находится чаще всего как подмножество X множества действительных чисел , на котором выполнимы все операции, определяющие значение функции y по значению ее аргумента x; в этом случае ООФ называют естественной областью определения функциии она совпадает с областью допустимых значений (ОДЗ) для пенременной в выражении f(x);

ООФ может находиться по смыслу функции и в этом случае она будет более узкой, чем естественная ООФ;

приняты и другие обозначения ООФ, например, D(f) или D(y).

Областью значений числовой функции (ОЗФ) называется множество числовых значений, которые принимает функция y, если ее аргумент .

ОЗФ – это вспомогательная характеристика функции, которая вполне определяется после построения графика функции. До того, как график построен, ОЗФ может быть найдена только в отдельных случаях, когда это помогают сделать известные свойства основных элементарных функций, с помощью которых записана исследуемая функция. Для ОЗФ приняты также обозначения E(f) или E(y).

Пример (нахождение ООФ и ОЗФ)

Найти область определения и область значений в каждой из следующих функций:

1) ООФ: или ;

ОЗФ: , так как это сложная функция, полученная суперпозицией двух функций : и ;

2) ООФ: ;

ООФ записана из ограничения по делению: на ноль делить нельзя;

ОЗФ можно найти только после построения графика функции;

3) ООФ: ;

ООФ определена операцией извлечения корня квадратного, которая имеет смысл только для неотрицательных чисел;

ОЗФ: , так как корень квадратный принимает все неотрицательные значения, если ;

4) ООФ: ;

здесь ООФ учитывает ограничения операции логарифмирования (логарифмы существуют только от положительных чисел) и операции деления (на ноль делить нельзя);

ОЗФ определяется после построения графика функции;

5) , ООФ: ;

здесь ООФ записана по смыслу задания функции;

ОЗФ: – определена по графику функции ;

6) последовательность с общим членом может рассматриваться как функция натурального аргумента n, то есть ООФ: ;

здесь ООФ записана по смыслу задания функции; ОЗФ: ;

7) ООФ: ; ОЗФ: .

Таким образом, в качестве ООФ и ОЗФ могут получиться любые множества: непрерывные или дискретные, бесконечные или конечные, в том числе может получиться пустое множество.