Примеры построения графиков функций

1. Построить график функции

Такая функция, задаваемая явно, но несколькими формулами, называется кусочно заданной функцией.

Решение

Чтобы построить график этой кусочно заданной функции, нужно

построить графики известных функций , , ;

выделить сужение каждой из этих функций на указанное множество значений x;

объединить сужения в общий график.

:

область задания функции .

Таким образом, график кусочно заданной функции получается компиляцией (объединением, склеиванием) «кусков» графиков известных функций.

2. Перейти от неявно заданной функции y(x) уравнением к явному заданию и построить график.

Решение

Решаем данное уравнение относительно y:

, где .

Получили равенство, которое каждому значению ставит в соответствие два значения y. Можно было бы его истолковать как двузначную функцию. Но функциональная зависимость по определению однозначная, т. к. этим определением каждому значению x ставится в соответствие единственное значение y. Поэтому нужно перейти от якобы двузначной функции к совокупности двух однозначных функций:

– графиком является верхняя ветвь параболы , – графиком является нижняя ветвь параболы .

3. Построить график функции .

Решение

По определению модулей имеем, что

Преобразуем данную функцию, раскрыв оба модуля на каждом из промежутков знакопостоянства подмодульных выражений:

	-1
:
:

.

Строим график получившейся кусочно-заданной функции:

		,
график функции

4. Построить график функции, заданной параметрически

Линия, описываемая этими уравнениями, называется циклоидой.

Решение

Построение графика любой функции, заданной параметрически, проводится поточечно с помощью таблицы соответствующих значений параметра, аргумента и функции.

t			p		2p
			Rp		2pR
			2R	R
Точки графика	(0; 0)

Эта функция является периодической с наименьшим периодом .

Известно геометрическое определение циклоиды как линии, которую описывает фиксированная точка окружности радиуса R, если окружность катится без скольжения по прямой:

фиксированная точка окружности в начальный момент времени.

5. Построить график функции в полярной системе координат.

Решение

Построение линии в полярной системе координат выполняется по точкам с помощью таблицы соответствующих друг другу значений аргумента и функции. При построении таблицы учтем, что функция является четной, поэтому .

					p
	2a		a
Точка на графике	T1	T2, T3	T4, T5	T6, T7	О

Линия, описываемая уравнением , называется кардиоидой.