КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ.

Если под действием постоянной силы `Fтело массы m переме-щается на DХ, то сила совершает работу и энергия движущегося тела возрастает на величину проделанной работы. Если тело перемещается по горизонтальной прямой,то m

DА = F Dx. `F X

Рис.3.

Используя 2-ой зак. Ньютона и выражение для перемещения при равноускоренном движении, получим

DА = mW Dx = mW( V₀t + Wt²/2 ). (5)

Определим время из уравнения

V(t) = V₀ + Wt ® t = (V – V₀)/W и подставим его в (5)

DА = mW [V₀(V – V₀)/W + (V – V₀)²/2W² ] = mV²(t)/2 – mV₀²/2 (6)

Величину Е_к = mV²/2 - наз.кинетической энергией.

Т.о., работа, совершаемая телом, равна изменению его кинетической энергии.

DА = Е_к1 – Е_к0.

Кинетическая энергия увеличивается, когда А > 0 и уменьшается, когда А<0. Например, силы трения совершают А<0.

Если в конце рассматриваемого перемещения тело останавлива-ется (V(t) = 0), то совершенная максимальная работа равна кинетической энергии тела в начале перемещения. Значит, работа силы трения является мерой изменения кинетической энергии.

Пользуясь уже применявшимся выше приемом разбивки траектории тела на малые отрезки, несложно доказать, чтоформула (6) справедлива и в общем случае криволинейного пути и переменной силы.

Второй вид механической энергии – потенциальная энергия Е_п – определяется взаимным положением тел или частиц, находящихся под воздействием сил взаимодействия. Потенциальная энергия – это запас работы, которую могут совершить действующие на тело силы взаимодействия (например, силы тяжести или упругие силы) при перемещении этого тела из данного положения в конечное положение из которого дальнейшее его перемещение под действием тех же сил уже невозможно. Потенциальная энергия тела, занимающего какое-либо положение в пространстве, обычно находится путем вычисления указанной работы действующих на него сил. Только при этом необходимо предварительно установить то конечное состояние тела, в котором его потенциальная энергия принимается равной нулю.

В качестве примера определим: 1)потенциальную энергию упругодеформированного тела (стержня). Она равна максимальной работе А, совершаемой силами упругости, восстанавливающими первоначальный размер и форму стержня:

Е_п = А.

Сила упругости равна

F = ESDl ¤ l.

Эта сила является переменной величиной: она линейно зависит от удлинения Dl, изменяясь от нуля при Dl = 0 до `F. Поэтому можно считать, что при перемещении Dl действует средняя сила упругости

<F> = ( 0 + F )/2 = F/2.

Тогда A = <F>Dl = F Dl ¤2 = ES(Dl)²/2l₀,

следовательно

Е_п = к(Dl)²/2, (7)

где к = ES/l - коэффициент пропорциональности в законе Гука.

При всех других видах деформации потенциальная энергия тоже пропорциональна квадрату деформации (смещения).

2) потенциальная энергия тела массы m, находящегося в гравитационном поле другого тела массой М на расстоянии r₀ от него.

M M m

r₀

Рис.4.

Для этого рассчитаем работу А перемещения первого тела по пути x, соответствующем максимальному сближению тел. Учитывая переменный характер силы тяготения данную задачу просто решить путем интегрирования

А = - òFdr = - fmM òdr/r² = f mM/r_п – fmM/r₀. (8)

А = Е_по – Е_пк,

где r – переменное расстояние между центрами тяготеющих масс. Знак (-) потому, что для сближающихся масс dr отрицателен, т.к. работа dA = Fdr должна быть положительной, поскольку перемещение массы происходит в направлении действия силы.

Данную задачу можно было решить и без интегрирования, разбивая путь на достаточно малые отрезки, на каждом из которых можно считать силу тяготения постоянной, подсчитать совершаемые на этих отрезках работы и просуммировать их. Но это достаточно громоздко.

Из (4) и (6) следует, что

Е_п = -fMm/r - потенциальная энергия тяготения.

Знак (-) показывает, что по мере самопроизвольного сближения тяготеющих тел их потенциальная энергия должна уменьшаться, переходя в кинетическую.

В механике доказывается, что всякая предоставленная самой себе система стремится перейти в состояние, соответствующее минимуму потенциальной энергии.

Из (7) следует, что максимальное значение кинетической энергии Е_п (W_п = 0) тяготеющие тела будут иметь в случае, когда они удалены на r =µ др. от др. и Е_п равна min при r®r_min.