Удельная мощность помехи на выходе фильтра может быть найдена из выражения

(2)

где S_n(ω) – спектральная плотность мощности помехи на входе фильтра.

В приведенном выражении учтено, что при помехе в виде белого шума S_n(ω)=N₀/2.

Отношение пикового значения сигнала к эффективному значению помехи на выходе фильтра определяется выражением:

(3)

Применяя к числителю отношения (3) неравенство Коши-Буняковского [3], можно записать:

(4)

В последнем выражении равенство достигается при единственном условии которое определяет условие оптимальности фильтра по указанному выше критерию.

(5)

Как видно из (5), абсолютное значение коэффициента передачи такого фильтра пропорционально амплитудному спектру сигнала , а фазочастотная характеристика содержит два слагаемых, первое из которых равно по абсолютному значению, но противоположно по знаку фазовому спектру сигнала, второе слагаемое определяет временное положение максимума отклика. Для физически реализуемого фильтра необходимо выполнение условия , где t_c – длительность сигнала на входе фильтра.

Таким образом, при помехе с равномерной спектральной плотностью мощности частотные характеристики оптимального фильтра полностью определяются спектральными характеристиками сигнала. Поэтому такой фильтр часто называют согласованным [1].

Найдем отношение пикового значения сигнала к эффективному значению шума на выходе согласованного фильтра. Подставляя (5) в (3), можно получить:

(6)

где – удельная энергия сигнала, т.е. энергия, которая рассеивается на сопротивлении 1 Ом.

Отношение пиковой мощности сигнала к средней мощности шума на выходе фильтра в этом случае равно:

(7)

где τ_c – длительность сигнала,

P_c – средняя мощность сигнала на входе фильтра.

Импульсная реакция согласованного фильтра может быть записана в виде обратного преобразования Фурье:

Подставляя в приведенное выражение равенство (5), можно получить:

(8)

Отсюда следует, что импульсная характеристика согласованного фильтра пропорциональна зеркальному отражению сигнала, сдвинутому на интервал времени t₀. Поскольку процесс на выходе цепи может быть записан в виде свертки входного сигнала с импульсной реакцией этой цепи, то в случае согласованного фильтра выходной процесс пропорционален автокорреляционной функции входного сигнала, сдвинутой на интервал t₀ [1,3]:

(9)

Как следует из равенства (9), максимум процесса U_вых(t) достигается в момент времени t=t₀, и в этот момент времени обеспечиваются наилучшие условия его наблюдения на фоне помех[1].

В случае помехи, не являющейся белым шумом, имеющий спектральную плотность мощности S_n(ω),оптимальный фильтр состоит из двух каскадов [3].Первый из них называется «обеляющим» фильтром [3], его задачей является преобразование помехи в белый шум. Квадрат модуля коэффициента передачи «обеляющего» фильтра может быть записан в виде:

(10)

где K₁– произвольный коэффициент, определяющий значение уровня спектральной плотности помехи K₁²на выходе «обеляющего» фильтра.

Вторым каскадом оптимального фильтра является фильтр, согласованный с формой сигнала на выходе «обеляющего» фильтра. Комплексный коэффициент передачи его описывается выражением:

(11)

где G_S(jω) – спектральная функция входного сигнала.

Структура оптимального фильтра для сигнала, принимаемого в смеси с помехой, имеющей неравномерную спектральную плотность мощности, приведена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Структурная схема оптимального фильтра

для сигнала, наблюдаемого в смеси с помехой, имеющей

неравномерную спектральную плотность мощности

Максимальное (пиковое) значение сигнала на выходе фильтра в этом случае равно:

(12)

Найдем выражение для мощности помехи на выходе рассматриваемого фильтра:

Учитывая равенства (10) и (11), можно получить:

(13)

Находя отношение пиковой мощности сигнала к средней мощности шума на выходе фильтра, получим:

(14)

Можно убедиться, что при равномерном спектре помехи S_n(ω)=2/N₀, равенства (14) и (6) приводят к одинаковому результату.

Рассмотрим согласованный фильтр для одиночного видеоимпульса. Выражение для сигнала такой формы имеет вид:

(15)

где U₀ – амплитуда импульса,

τ_И – длительность импульса.

Спектральная функция этого сигнала может быть найдена применением преобразования Фурье

(16)

Полагая t₀=τ_И, найдем коэффициент передачи согласованного фильтра:

(17)

При выполнении вычислений необходимо иметь в виду, что G_S^*(jω)=G_S(-jω).

Для нахождения структуры фильтра необходимо учитывать, что комплексный коэффициент передачи K₃(jω)= имеет цепь, осуществляющую запаздывание входного сигнала на длительность импульса τ_И, а имеет интегратор. Тогда структура фильтра, согласованного с одиночным видеоимпульсом, может быть представлена в виде, изображенном на рисунке 2.

Рисунок 2 – Структурная схема фильтра, согласованного

с одиночным видеоимпульсом

Поступающий на вход сигнал разветвляется на два пути – по одному импульс поступает на сумматор, по второму – на цепь задержки, после которой задержанный импульс с противоположным знаком примыкает к не задержанному. В результате интегрирования получившейся последовательности двух разнополярных прямоугольных импульсов процесс U_ВЫХ(t) представляет собой импульс треугольной формы, ширина которого по основанию равна 2τ_И. Можно убедиться, что максимум выходного сигнала находится в точке t_M=τ_И=t₀ .

Функция автокорреляции сигнала в виде одиночного импульса прямоугольной формы также имеет треугольную форму [2] с максимальным значением в начале координат.

Рассмотрим фильтр, согласованный с последовательностью некоторого числа М прямоугольных импульсов одинаковой длины τ_И, положительной полярности с заданным значением Т расстояния между ними. Как и в предыдущем случае, найдем спектральную функцию сигнала:

(18)

где S₀(t) – одиночный импульс с амплитудой U₀ и длительностью τ_И.

Используя равенство (16) для спектральной плотности одиночного импульса, линейность и теорему запаздывания – свойства преобразования Фурье [3] – можно получить:

(19)

где (20)

множитель, учитывающий повторяемость одиночных импульсов, следующих через интервал Т,

– спектральная плотность одиночного импульса амплитудой U₀ и длительностью τ_И.в соответствии со сказанным выше, коэффициент передачи оптимального (согласованного) фильтра для пачки импульсов может быть записан в виде:

(21)

где – момент времени, в котором напряжение сигнала на выходе фильтра достигает максимума.

При коэффициент передачи согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с выражением для спектральной плотности сигнала:

(22)

В соответствии с равенством (22) реализация фильтра, согласованного с сигналом в виде пачки прямоугольных видеоимпульсов, представляет собой последовательное соединение фильтра, согласованного с одиночным импульсом, и накопителя, являющегося линией задержки с отводами, следующими через интервал Т, соединенной с сумматором задержанных импульсов. Максимум сигнала на выходе фильтра в этом случае достигается в момент времени, соответствующий положению заднего фронта последнего из поступающих на вход фильтра импульсов.

Структурная схема и диаграммы процессов в характерных точках согласованного фильтра приведены на рисунке 3, на котором обозначен K₁(jω) – коэффициент передачи фильтра, согласованного с одиночным импульсом.

В настоящей лабораторной работе изучается оптимальная (согласованная) фильтрация последовательности прямоугольных импульсов, называемой семиэлементным сигналом (кодом) Баркера. К подобным сигналам относятся последовательности импульсов переменного знака (фазоманипулированные последовательности), функции корреляции которых имеют локальные экстремумы (максимумы или минимумы), не превышающие относительный уровень 1/М, где М – число импульсов в последовательности [2]. В настоящее время такие последовательности найдены для М=3,4,5,7,11 и 13. Для наиболее интересных случаев коды Баркера имеют вид, приведенный в таблице 1.

Рисунок 3 – Структурная схема оптимального фильтра для пачки М импульсов и диаграммы напряжений

Таблица 1 Сигналы Баркера

Символом «1» в таблице обозначен импульс положительной полярности, символом «-1» – отрицательной. Амплитуды импульсов должны быть одинаковыми.

Выражение для нормированной функции автокорреляции сигнала конечной длительности имеет вид [2]:

(23)

где – удельная энергия сигнала.

Рассмотрим сигнал Баркера, состоящий из семи вплотную следующих друг за другом прямоугольных импульсов, длительность каждого из которых равна τ_И. График функции, описывающий такой сигнал, приведен на рисунке 4.

Рисунок 4 – Семипозиционный сигнал Баркера

Выполняя операции, предусмотренные равенством (23), можно убедиться, что нормированная функция автокорреляции такого сигнала имеет вид, представленный на рисунке 5.

Рисунок 5 – Функция автокорреляции семипозиционного сигнала

Согласованный фильтр для сигнала Баркера используемого вида, как и в случае приема пачки импульсов, можно представить в виде последовательного соединения фильтра, согласованного с одиночным импульсом, и накопителя, в котором осуществляется суммирование отдельных импульсов последовательности с учетом их полярности на отдельных позициях. Структурная схема фильтра представлена на рисунке 6.

Рисунок 6 – Структурная схема фильтра, согласованного

с семиэлементным кодом Баркера

Приведенный на схеме фильтр, согласованный с семиэлементным кодом Баркера, заканчивается входящим в его состав элементарным фильтром с коэффициентом передачи K₁(jω), являющимся согласованным с одиночным импульсом кода. В ряде случаев для упрощения технической реализации вместо этого фильтра применяется квазиоптимальный, построенный на базе какого-либо типового фильтра. Оптимизация фильтра при этом осуществляется подбором его полосы, обеспечивающим указанное выше максимальное отношение пикового значения сигнала к эффективному значению шума на его выходе, но для заданного, фиксированного вида фильтра. Впервые такую постановку задачи сформулировал советский ученый В.И.Сифоров в 1946г., и решил подобную задачу для фильтра с прямоугольной АЧХ. В лабораторной установке, на которой выполняется данная лабораторная работа, квазиоптимальный фильтр выполнен в виде однозвенной RC-цепи. Как показано в учебнике [З], максимальное отношение пиковой мощности сигнала на выходе фильтра к средней мощности шума достигается при условии

(24)

где – постоянная времени RC-фильтра.

При выполнении полученного условия отношение пиковой мощности сигнала к средней мощности шума на выходе фильтра составляет 0.814 от максимально возможного, определяемого равенством (7) для импульса прямоугольной формы. Таким образом, ценой упрощения оконечного фильтра в схеме, приведенной на рисунке 6, является двадцатипроцентный проигрыш в энергии сигнала (около 0.9 дБ), что на практике обычно считается допустимым.

Необходимо иметь в виду, что замена оптимального фильтра квазиоптимальным обычно оказывается несложной для сигналов сравнительно простой формы.

В системах связи чаще всего используются фазоманипулированные сложные сигналы, являющиеся последовательностями радиоимпульсов одной несущей частоты, фазовые сдвиги которых скачкообразно меняются по закону, соответствующему коду импульсной последовательности. Изменения фазы обычно составляет π, т.е. фазы элементарных сигналов меняются на противоположные. Согласованные фильтры для таких сигналов представляют собой сочетание рассмотренных выше многоотводных линий задержки с включенными в необходимых местах инверторами, сумматором и оконечным оптимальным (согласованным) фильтром по отношению к одиночному радиоимпульсу (а не видеоимпульсу, как в предыдущем случае). При этом квазиоптимальный фильтр может быть выполнен в виде колебательного контура с указанным в (24) соотношением постоянной времени и длительности элементарного радиоимпульса.

Одним из преимуществ сложных (широкополосных) сигналов по сравнению с «простыми» является возможность повышения разрешающей способности по времени при фиксированной их длительности. Два сигнала называются разрешенными, если можно с высокой вероятностью зафиксировать наличие каждого из них и определить значения их основных параметров. Минимальное расстояние между сигналами, при котором их можно считать разрешенными, называется интервалом разрешения по данному параметру. В данном случае представляет интерес запаздывание по времени одного из сигналов относительно другого, которое может возникнуть, в частности, при многолучевом распространении сигнала в радиосвязи. При отсутствии разрешения возникает интерференция между сигналами, прошедшими по разным путям, в результате которой амплитуда суммарного сигнала может меняться в значительных пределах, что значительно снижает качество приема. При наличии разрешения один из сигналов можно устранить применением временной селекции. Можно также показать, что эффект сжатия сложных сигналов практически устраняет межсимвольные искажения, возникновение которых возможно за счет инерционности канала связи. Таким образом, повышенная разрешающая способность по времени сигналов с фазо-кодовой манипуляцией (к которым относятся сигналы Баркера) является одним из их достоинств, обеспечивающих системам связи, использующим также сигналы, ряд высоких показателей качества.

3. Характеристика лабораторной установки:

Лабораторная работа выполняется на блоке «Оптимальная фильтрация», функциональная схема которого приведена на рис.7.

Рисунок 7 – Упрощенная функциональная схема блока

«Оптимальная фильтрация»

Генератор сигнала формирует семипозиционный код Баркера с амплитудным кодированием, форма которого приведена на рисунке 4. Длительность элементарного импульса составляет 2 мкс, длительность сигнала – 14 мкс, техническая ширина его спектра 500 кГц. Сформированный сигнал через ключ «Сигнал» подается на сумматор. Кроме того, на второй вход сумматора может быть подан тот же сигнал с выхода управляемой линии задержки. Величина задержки относительно положения сигнала с выхода генератора может меняться от 2 до 16 мкс. На третий вход сумматора может быть подан шум с внешнего источника через блок «генератор шума». Ширина спектра шума приблизительно равна 500 кГц. Таким образом, на выходной клемме сумматора «Сигнал» можно наблюдать либо любой из трех перечисленных процессов, либо сумму двух из них, либо сумму всех трех. Фильтр, согласованный с сигналом Баркера, реализован на основе многоотводной линии задержки и сумматора. Каждый из отводов линии задержки подключен к сумматору через один из ключей – инверторов K₁ – K₇, коэффициенты передачи которых могут принимать значения +1 или -1. К выходу сумматора подключен квазиоптимальный фильтр (КОФ) для одиночного видеоимпульса, выполненный на базе однозвенной RC-цепи. Результат фильтрации поступающих на вход согласованного фильтра сигналов наблюдается в гнезде «Выход».

Структурная схема Simulink-модели, соответствующая реальной установке, приведена на рисунке 8.

Рисунок 8 – Блок-схема модели для исследования статистических характеристик согласованной фильтрации, использующей семиэлементный код Баркера

Здесь сигнал, соответствующий семиэлементному коду Баркера, формируется в блоке Group2 (библиотечный блок называется Signal Builder), окно настройки которого показано на рисунке 9. В набор сигналов блока Group2 входят три сигнала:

Рисунок 9 – Окно блока Signal Builder для формирования семиэлементного кода Баркера

– Barker0 - семиэлементный код Баркера без смещения по оси времени;

– Pulse7 - прямоугольный импульс длительностью, одинаковой с первым;

– BarkerInv - обращённый семиэлементный код Баркера.

В набор сигналов блоке Group1 входят два семиэлементных кода Баркера со смещением по оси времени, равным:

– длительности одного элемента кода (Barker1);

– длительности двух элементов кода (Barker2).

Выходы генераторов поодиночке или после суммирования в блоке Add подключаются через аттенюатор (блок GainS) на вход сумматора, куда также через аттенюатор (блок GainN) поступает гауссов белый шум с генератора Random Number. Суммарный (зашумлённый) процесс подаётся на вход набора блоков задержки, умножителей и сумматора, моделирующих обработку в согласованном фильтре. Выход сумматора подключён к фильтру одиночного сигнала (для кода Баркера), состоящего из трёх блоков: линии задержки, вычитающего устройства и интегратора.

Индикация результатов моделирования проводится с помощью осциллографа и трёх цифровых дисплеев. Дисплей Var1 показывает текущую дисперсии процесса на входе согласованного фильтра, второй дисплей Var2 – текущую дисперсию на его выходе, а третий – максимальное значение процесса на выходе фильтра за время моделирования. Осциллограф показывает три графика временных зависимостей: самого суммарного процесса, результат обработки на выходе многоотводной линии задержки (межпериодной обработки) и сигнал на выходе фильтра, согласованного с одиночным сигналом кода Баркера. Эти процессы также записываются в рабочее пространство системы MATLAB. Кроме того, с помощью блока simout туда же копируются отсчёты исходного (незашумлённого) сигнала.