Порошкових тіл

У основу своєї теорії Г.М. Жданович поклав аналіз контактної взаємодії частинок порошкового тіла. При цьому частинка порошку розглядається як окреме тіло, що підпорядковується всім законам класичної механіки.

Для аналізу контакту між частинками розглядається модель, що складається з двох опуклих тіл, обмежених в околицях зони контакту деякими довільними криволінійними поверхнями (рис.21, 22). Первинна точка дотику тіл (частинок) приймається за початок координат. Осі X₁ ,У₁ і Х₂, У₂ розташовуються в загальній дотичній площині, а осі Z₁ Z₂ – по загальній нормалі.

Рисунок 21 – Схема деформації частинок	Рисунок 22 – Схема силової взаємодії частинок порошку при пресуванні

Передбачається, що в околиці зони контакту рівняння поверхонь дотичних частинок мають вигляд

; ; (2.2)

При розкладанні цих функцій в ряди Маклорена одержимо:

(2.3)

(2.4)

Індекс 0 у виразах (2.3) і (2.4) дає значення функцій Z₁, і Z₂, їх приватних похідних поблизу початку координат, тобто при .

Оскільки Х0У - загальна дотична площина, то можна написати:

(2.5)

Тоді з урахуванням (2.5) рівняння (2.3) і (2.4) можна записати у вигляді:

; (2.6)

. (2.7)

Якщо вісі, , , , повернути так, щоб зникли члени ряду, що містять утворення і , і нехтувати членами порядку третьої і вищих ступенів, то рівняння (2.6) і (2.7) можна записати так:

(2.8)

(2.9)

При деформації частинок (рис.21) крапки M₁ і М₂ можуть поєднатися і виявитися на контурі поверхні взаємного контакту частинок. Якщо ці зближення і поєднання відбуваються по осі Х, то в цьому випадку можна приблизно прийняти:

; ; , (2.10)

де – нормальна контактна деформація частинок;

– зближення частинок.

Підставляючи у вираз (2.10) значення и з рівнянь (2.6) і (2.7) одержуємо

(2.11)

Далі приймається, що квадрати координат прямо пропорційні розмірам площі контакту. Значення других похідних, які пов'язані з приведеною кривизною перетинів частинок, обернено пропорційні середньостатистичному розміру частинок a_ср. Тоді зближення частинок

, (2.12)

де ; ;

; .

У остаточному вигляді вираз (2.12) записується так:

, , (2.13)

де ,

або в диференціальній формі:

. (2.14)

Припускаючи, що деформація порошкового тіла відбувається в основному за рахунок нормальної деформації контактів частинок і їх відносний зсув при збільшенні зусилля преса на , можна розраховувати зміну висоти пресовки:

, (2.15)

де – висота пресовки в даний момент деформації;

– приведене число шарів частинок по висоті пресовки;

– число частинок в шарі пресовки, що розглядається;

– число опорних контактів даної частинки;

– елементарні, нормативні деформації контактів частинок, які взаємодіють;

– елементарні зрушення, які є наслідком зміни контактів;

– кути відповідно нормальної і тангенціальної взаємодії контактів даних частинок (рис.22).

Переходячи до середньостатистичних величин і вважаючи, що а одержуємо

, (2.16)

або , (2.17)

де ; ; ;

N – загальне число частинок в пресовці;

– середньостатистичне число частинок в даному шарі.

Визначивши загальне число частинок

(2.18)

і середньостатистичне число частинок

(2.19)

можна розрахувати приведене число шарів частинок порошку по висоті пресовки: , (2.20)

де – номінальна площа перетинів пресовки;

– коефіцієнт відповідно плоскої і об'ємної форми частинок.

Підставляючи значення з виразу (2.20) в (2.17), знаходимо

, (2.21)

або щодо елементарного зближення частинок

(2.22)

Середньостатистичне число контактів, що припадає на одну частинку з достатньою для практики точністю,

, (2.23)

де К – число контактів, що припадає на одну частинку при 100%-й щільності порошкового тіла;

– відносна щільність.

Проекція сумарної поверхні контактів в даний момент пресування

. (2.24)

Виходячи з середньостатистичних величин вираз (2.24) може бути представлений так:

, (2.25)

де – середньостатистичне число опорних контактів частинки;

– середньостатистичний розмір площі контакту.

Число контактів мають частинки верхнього відкритого шару пресовки, тому для його визначення використовується наступний вираз:

. (2.26)

Розглядаючи спільно вирази (2.19) і (2.25), (2.26) визначаємо

. (2.27)

З (2.27) знаходимо (2.28)

де – безрозмірна відносна величина проекції сумарної контактної поверхні пресування в даний момент пресування.

Вважаючи постійним середній статистичний кут нормального контакту взаємодії частинок при пресуванні, можна знайти елементарний приріст середньостатистичної площі контак . При зміні зусилля преса на величину:

. (2.29)

Надалі розглядаючи спільно вирази (32), (42) і (49) одержуємо:

. (2.30)

Даний вираз (2.30) є диференціальним рівнянням, що описує деформаційний механізм ущільнення порошкового тіла. Воно зв'язує приріст контактної поверхні пресування із зростанням її густини при збільшенні зусилля преса на .

З (2.30) необхідно знайти величину, яку можна визначити при використанні принципу віртуальних переміщень, який для даного випадку формулюється так: "сума робіт всіх контактних, внутрішніх і інерційних сил на елементарних можливих переміщеннях дорівнює нулю". Ця умова записується так:

, (2.31)

де – елементарна робота зовнішніх сил,

(2.32)

– елементарна робота внутрішніх сил,

, (2.32)

– елементарна робота інерційних сил,

. (2.34)

Робота вважається позитивною, якщо сила і переміщення направлені в одну сторону, і негативна, якщо в протилежні.

Для визначення елементарної роботи інерційних сил вважається, що робочий пуансон має постійну швидкість переміщення ( ).

Якщо розглядати частинку, що знаходиться в одиночному шарі порошкового тіла, яке ущільнюється, то зміну зусилля преса на величину (рис.23) призведе до переміщення цієї частинки разом з шаром на величину . Це переміщення – наслідок дії контактних сил. Елементарне переміщення шару частинок, що знаходиться на відстані від нижнього пуансона прес-форми, за умови відсутності сил зовнішнього тертя і постійності щільності в об'ємі пресування, може бути визначено так:

. (2.35)

Тоді швидкість переміщення даного шару (частинки )

. (2.36)

Відповідно прискорення

. (2.37)

Рисунок 23 – Схема деформації пресовки площею

Виходячи з прямолінійності руху частинки, радіус її траєкторії . Тоді при пресуванні з постійною швидкістю навантаження елементарна робота інерційних сил може бути прийнята рівною нулю, тобто

(2.38)

Елементарна робота зовнішніх сил

. (2.39)

При цьому зусилля преса Р в даний момент пресування може бути визначене як сума проекцій всіх контактних сил частинок перетину пресовки:

(2.40)

При переході до середньостатистичних величин вираз (2.40) можна записати так: . (2.41)

Тоді з урахуванням цієї залежності виразу (2.37) можна переписати

(2.42)

Елементарна робота внутрішніх сил, що витрачається на подолання сил відштовхування і зрушення частинок,

(2.43)

Цей вираз при переході до середньостатистичних величин можна переписати

. (2.44)

Підставляючи в умову (2.31) значення з (2.19), (2.20), (2.23), (2.38), (2.42) я (2.44), знаходимо:

, (2.45)

Розв`язуючи рівняння (2.45) щодо величини , одержуємо:

. (2.46)

Виходячи з припущення, що більшість частинок переміщається вертикально в напрямі, паралельному руху пуансона, для контактних зв'язків приймаємо умови:

; ; . (2.47)

Підставляючи ці значення у вираз (2.46), одержуємо:

. (2.48)

Диференціальне рівняння (2.50) можна записати так:

, (2.49)

де . (2.50)

Інтегрування виразу (2.49) дає

(2.51)

Постійна інтегрування С визначається з граничних умов при .

. (2.52)

При, звідки

(2.53)

Розглядаючи обидва вирази (2.52) і (2.53) визначаємо

. (2.54)

Підставляючи значення С з (2.52) і W₁ з (2.54) в (2.51), одержуємо:

. (2.55)

Оскільки відносний контактний перетин має дуже маленьку площу, для практичних розрахунків він може бути прийнятим рівним нулю, . Тоді вираз (2.55) можна записати:

. (2.56)

Або враховуючи, що ,

. (2.57)

Вираз (2.57) є рівнянням, що описує деформаційний механізм ущільнення порошкового тіла при пресуванні.

Як відзначає Жданович, викладене дозволяє:

1. встановити залежність між середньостатистичними величинами зближення частинок при навантаженні порошкового шнура і площею проекції поверхні контакту на площину, перпендикулярну до лінії силової взаємодії (2.13), (2.14);

2. визначити взаємозв'язок між середньостатистичною величиною нормальної контактної деформації і щільністю порошкового тіла (2.22);

3. встановити залежність між середньостатистичною величиною контактної поверхні і щільністю порошкового тіла (2.28) і (2.29);

4. встановити взаємозв'язок між проекцією сумарної контактної поверхні пресовки і її щільністю (2.57). Як було відмічено раніше, дана закономірність визначає деформаційний механізм ущільнення порошкового тіла.