Лекция 3 Электромагнитные колебания и волны

СПЕЦИАЛЬНОСТИ: 5В071200, 5В072400, 5В070800, 5В073100, 5В073200

ТЕЗИСЫ ЛЕКЦИЙ

МОДУЛЬ 1 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ. ОПТИКА

Лекция 2 Явление электромагнитной индукции

План лекции

1. Основной закон электромагнитной индукции. Правило Ленца. Явление взаимо- и самоиндукции. Индуктивность. Энергия и плотность магнит. поля.

2.Ток смещения. Система уравнений Максвелла. Волновое уравнение. Скорость распространения электромагнитного возмущения.

Тезисы

1. Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея) (рис. 179). Если происходит изменение сцепленного с кон­туром потока магнитной индукции, в контуре возникает индукционный ток; возник­новение индукционного тока указывает на наличие в цепи электродвижущей силы, называемой электродвижущей силой элек­тромагнитной индукции.ЭДС выражается в вольтах (В).

Закон Фарадея ЭДС электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром . Знак минус в фор­муле является математическим выражением правила Ленца — общего правила для нахождения направления ин­дукционного тока. Циркуляция векто­ра Е_В этого поля по любому неподвижному контуру проводника представляет собой э.д.с. электромагнитной индукции . Если в однородном маг­нитном поле равномерно вращается рам­ка, то в ней возникает переменная э.д.с., изменяющаяся по гармоническому закону.

Индуктивность – это физическая величина, характеризующая магнитные свойства электрической цепи. Индуктивность контура определяется магнитным потоком, сцепленным с контуром, когда ток, создающий этот поток, равен единице . Индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его разме­ров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится. Единица индуктивности - генри(Гн): 1 Гн=1 Вб/А=1В•с/А. Индуктивность соленоида . Из закона Фарадея следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению элек­тродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Работа по созда­нию магнитного потока Ф . Энергия магнитного поля .Однородное магнитное поле внутри длинного соленоида . Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью

2. Гипотеза Максвелла: всякое переменное магнит­ное поле возбуждает в окружающем про­странстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения ин­дукционного тока в контуре. По Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порождает элек­трическое поле Е_B, циркуляция которого , где символ частной производной подчерки­вает тот факт, что интеграл является функцией только от времени. Сравнение циркуляции векторов напряженности электростатического поля (обозначим его e_q) вдоль любого замкну­того контура равна нулю . Следовательно, электрическое поле Е_B, возбуждаемое магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым.

Идея о симметрии во взаимозависимости электрического и магнитного полей Согласно Максвеллу, если всякое пере­менное магнитное поле возбуждает в окру­жающем пространстве вихревое электри­ческое поле, то должно существовать и об­ратное явление: всякое изменение элек­трического поля должно вызывать появле­ние в окружающем пространстве вихрево­го магнитного поля. Ток смещения введен Максвеллом для установления количественных соотношений между изме­няющимся электрическим полем и вызыва­емым им магнитным полем.

Плотность тока смещения Ток смещения (в вакууме или веществе) создает в окружающем про­странстве магнитное поле (линии индук­ции магнитных полей токов смещения при зарядке и разрядке конденсатора показа­ны на рис. 197 штриховой линией). В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых. Плотность тока смещения в диэлектрике можно получить, если продифференцировать формулу для электрического смещения . Плотность тока поляризации обусловлена упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот диполей в полярных молекулах). Возбуждение магнитного поля токами поляризации правомерно, т.к. токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости.

По Максвеллу, полный ток всегда замкнут, т.е. на концах проводника обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости Полный ток - поток вектора плотности полного тока

Теорема о циркуляции вектора Н (циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых данным контуром) Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н .

Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме

(1) (2) (3) (4)

Электрическое поле мо­жет быть как потенциальным (e_q), так и вихревым (Е_B), поэтому напряженность суммарного поля Е=Е_Q+Е_B. Уравнение (1) показывает, что источни­ками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняю­щиеся во времени магнитные поля. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н (уравнение 2) показывает, что магнит­ные поля могут возбуждаться либо дви­жущимися зарядами (электрическими то­ками), либо переменными электрическими полями. Уравнение (3) – это теорема Гаусса для поля D, если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плот­ностью r. Уравнение (4) – это теорема Гаусса для поля В.Величины, входящие в уравнения Мак­свелла, не являются независимыми, и меж­ду ними существует следующая связь (изотропные, не сегнетоэлектрические и не ферромагнитные среды): (5) (6) (7) где e₀ и m₀ — электриче­ская и магнитная постоянные, e и m— диэлектрическая и магнит­ная проницаемости, g — удельная прово­димость вещества. Уравнения Максвелла для стационарных полей (когда (8) (9)) (10) (11) (12) (13) т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только электри­ческие заряды, источниками магнитно­го — только токи проводимости.

Теория Максвелла, являясь обобщени­ем основных законов электрических и маг­нитных явлений, смогла объяснить не только уже известные экспериментальные факты, что также является важным ее следствием, но и предсказала новые явле­ния. Одним из важных выводов этой тео­рии явилось существование магнитного поля токов смещения, что по­зволило Максвеллу предсказать существо­вание электромагнитных волн— перемен­ного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью.

Лекция 3 Электромагнитные колебания и волны

1. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Переменный электрический ток. Закон Ома для переменного тока

2. Волновое уравнение для электромагнитного поля. Свойства электромагнитных волн. Плотность потока электромагнитной энергии. Вектор Умова-Пойтинга. Излучение диполя.

Тезисы

1. Свободные затухающие коле­бания — колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебатель­ной системой с течением времени умень­шается. Закон затухающих колебаний опреде­ляется свойствами колебательных систем. Закон Ома для контура RLC , где - напряжение на резисторе. Дифференциальное уравнение свобод­ных затухающих колебанийзаряда в контуре или , где - коэффициент затухания, равный . Его решение . Затухающие колеба­ния не являются периодическими (рис. 208).

Амплитуда затухающих колебаний . Циклическая частота , период . Характеристиками колебательных систем являются декремент затухания, время релаксации, логарифмический декремент затухания, добротность системы.

Если A(t) и A(t+T)— амплитуды двух последовательных колебаний, соответству­ющих моментам времени, отличающимся на период, то отношение называется декрементом затухания, а его логарифм — логарифмическим декрементом затуха­ния; N_e — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Промежуток времени, в течение которого амплитуда за­тухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации . Добротно­сть колебательной системы Электрический резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешней ЭДС к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательного контура. Зависимость амплитуды колебаний заряда на конденсаторе от частоты внешней ЭДС , где , . Резонансная частота – частота, при которой амплитуда достигает максимального значения . Зависимость амплитуды заряда на конденсаторе от частоты внешней ЭДС при различных коэффициентах затухания (рис. 210). При все кривые достигают статического отклонения , а при - асимптотически стремятся к нулю. Чем больше , тем ниже и левее максимумы резонансных кривых.

2. Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях , где амплитуда тока, - сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС. Резонансная частота для силы тока . Резонансные кривые для амплитуды силы тока - рис. 211. Амплитуда силы тока максимальна при и равна . Чем больше коэффициент затухания , тем ниже максимум.

Электрический ток, величина и направление которого изменяются во времени, есть переменный ток. Установившиеся электромагнитные вынужденные колебания можно рассматривать как протекание переменного тока в цепи. Цепь переменного тока - цепь, содержащая резистор, катушку индуктивности и конденсатор, к которому приложено переменное напряжение.

1.Переменный ток, текущий через ре­зистор сопротивлением R (L®0, С®0). При выполнении условия квазистационарности ток через резистор определяется законом Ома: - амплитуда силы тока)

2. Переменный ток, текущий через конденсатор. Падение напряжения на конденсаторе . Сила тока , где амплитуда силы тока , а величина есть реактивное емкостное сопротивление. Для постоянного тока R_C=¥, он через конденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе Падение напряже­ния U_C отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на p/2.

3.Переменный ток, текущий через ка­тушку. ЭДС самоиндукции . Закон Ома Падение напряжения на катушке Сила тока , где - амплитудное значение силы тока, - реактивное индуктивное сопротивление. Падение напряжения на катушке . Для постоянного тока катушка не имеет сопротив­ления. Падение напряже­ния U_L опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на p/2. Для активного сопротивления – график есть прямая, параллельная оси , для индуктивного сопротивления - график есть прямая пропорциональность, для емкостного сопротивления - график есть обратная пропорциональность. Условие резонанса , , Резонансная частота Средняя мощность , .Действующее значение тока и напряжения Средняя мощность , коэффи­циент мощности

1. Одним из важнейших следствий уравнений Мак­свелла является существова­ние электромагнитных волн. Можно по­казать, что для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создаю­щих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электро­магнитного поля удовлетворяют волново­му уравнению:

— оператор Лапласа, v — фазовая ско­рость.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (162.1) и (162.2), описывает некоторую волну. Следовательно, электро­магнитные поля действительно могут су­ществовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением

где с= 1/Öe₀m₀, e₀ и m₀ — соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m — соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

В вакууме (при e=1 и m=1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как em>1, то скорость распространения электро­магнитных волн в веществе всегда мень­ше, чем в вакууме.

При вычислении скорости распростра­нения электромагнитного поля по формуле (162.3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с эксперименталь­ными данными, если учитывать зависи­мость e и m, от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в (162.3) со скоростью распространения света в вакуу­ме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явле­ниями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электро­магнитные волны.

Следствием теории Максвелла являет­ся поперечность электромагнитных волн: векторы Е и Н напряженностей электриче­ского и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны и лежат в плос­кости, перпендикулярной вектору v скоро­сти распространения волны, причем векто­ры Е, Н и v образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне век­торы Е и Н всегда колеблются в одина­ковых фазах, причем мгно­венные значения £ и Я в любой точке связаны соотношением Öe₀e=Öm₀mН. Следовательно, E и H одновременно достигают максимума, одновременно об­ращаются в нуль и т. д. От волновых уравнений можно перейти к уравнениям

где соответственно индексы у и z при Е н Н подчеркивают лишь то, что векторы Е и Н направлены вдоль взаимно перпен­дикулярных осей у и z.

Уравнениям удов­летворяют, в частности, плоские монохро­матические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

Е_у=Е₀cos(wt-kx+j), (162.7)

H_z= H₀cos(wt-kx+j),(162.8)

где е₀и Н₀ — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнит­ного полей волны, w — круговая частота волны, k=w/v— волновое число, j— начальные фазы колебаний в точках с ко­ординатой х=0. В уравнениях (162.7) и (162.8) j одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой.

Возможность обнаружения электромаг­нитных волн указывает на то, что они переносят энергию. Объемная плотность w энергии электромагнитной волны скла­дывается из объемных плотностей w_эл и w_м электриче­ского и магнитного полей.Получим, что плотность энергии электрического и магнитного полей в каждый момент вре­мени одинакова, т. е. w_эл = w_м.

Умножив плотность энергии w на скорость v распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии: S=EH. Так как векторы Е и Н взаимно пер­пендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора [ЕН] совпадает с направлением переноса энер­гии, а модуль этого вектора равен ЕН. Вектор плотности потока электромагнит­ной энергии называется вектором Умова-Пойнтинга:

S = [EH]. Вектор S направлен в сторону рас­пространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу вре­мени через единичную площадку, перпен­дикулярную направлению распростране­ния волны.

Если электромагнитные волны погло­щаются или отражаются телами (эти яв­ления подтверждены опытами Г. Герца), то из теории Максвелла следует, что элек­тромагнитные волны должны оказывать на тела давление. Давление электромаг­нитных волн объясняется тем, что под действием электрического поля волны за­ряженные частицы вещества начинают упорядоченно двигаться и подвергаются со стороны магнитного поля волны дейст­вию сил Лоренца. Однако значение этого давления ничтожно. Можно оценить, что при средней мощности солнечного излуче­ния, приходящего на Землю, давление для абсолютно поглощающей поверхности со­ставляет примерно 5 мкПа. В исключи­тельно тонких экспериментах, ставших классическими, П. Н. Лебедев в 1899 г. до­казал существование светового давления на твердые тела, а в 1910 г. - на газы. Опыты Лебедева имели огромное значение для утверждения выводов теории Мак­свелла о том, что свет представляет собой электромагнитные волны.

Существование давления электромаг­нитных волн приводит к выводу о том, что электромагнитному полю присущ механи­ческий импульс. Импульс электромагнит­ного поля p=W/c, где W — энергия электромагнитного поля. Выражая импульс как р=mc (поле в ва­кууме распространяется со скоростью с), получим p = mc=W/c, откуда W = mc²

Это соотношение между массой и энергией свободного электромагнитного поля явля­ется универсальным законом природы. Согласно специальной теории относительности, выражение имеет общее значение и справед­ливо для любых тел независимо от их внутреннего строения.

3. Простейшим излучателем электромагнит­ных волн является электрический диполь, электрический момент которого изменяет­ся во времени по гармоническому закону р = р₀coswt, где р₀ — амплитуда вектора р. Примером подобного диполя может служить система, состоящая из покоящегося положительно­го заряда +Q и отрицательного заряда -Q, гармонически колеблющегося вдоль направления р с частотой w.

Задача об излучении диполя имеет в теории излучающих систем важное зна­чение, так как всякую реальную излучаю­щую систему можно рассчитывать рассматривая излучение ди­поля. Если волна распространяется в одно­родной изотропной среде, то время про­хождения волны до точек, удаленных от диполя на расстояние r, одинаково. Поэто­му во всех точках сферы, центр которой совпадает с диполем, фаза колебаний оди­накова, т. е. в волновой зоне волновой фронт будет сферическим и, следователь­но, волна, излучаемая диполем, есть сфе­рическая волна. Диполь сильнее всего излучает в направлениях, перпенди­кулярных его оси (q=p/2). Вдоль своей оси (q=0 и q=p) диполь не излучает вообще. Диаграмма направленности излу­чения диполя позволяет формировать из­лучение с определенными характеристиками и используется при конструировании антенн.