Общее решение задачи о колебании круглой мембраны

Вернемся к задаче о колебании круглой мембраны. С учетом того, что мы получили бесконечный набор значений λ_nm , полученные нами уравнения после применения метода разделения переменных следует переписать в следующем виде

(24)

(25)

(26)

Решения этих уравнений соответственно будут иметь вид (после переобозначения произвольных констант)

(27)

(28)

(29)

И тогда можем записать

(30)

Здесь следует обратить внимание на то, константа стала не нужна. Следовательно, и вопрос об определении функции J_nm через неопределенный коэффициент a₀ снимается с повестки дня. Общее решение уравнения колебания мембраны запишется как

(31)

Для определения остальных констант воспользуемся начальными условиями

(32)

и ортогональностью функций Бесселя.

Подставив в общее решение , получим

(33)

Этот ряд представляет собой разложение периодической функции в ряд Фурье на интервале (0, 2π) и, следовательно, выражения в квадратных скобках должны быть коэффициентами рядя Фурье, а именно

(34)

(35)

С другой стороны эти формулы представляют разложение функций в правых частях по функциям Бесселя. Тогда

(36)

(37)

Аналогичным образом определяются и коэффициенты B_nm и D_nm после записи второго начального условия и подстановки в него производной по времени от общего решения. В результате в формуле (33) функция заменится на , коэффициенты А_nm и С_nm заменятся на B_nm и D_nm, а перед знаками суммирования появится множитель .