Цилиндрические функции. Уравнение Бесселя

(1)

Нетрудно видеть, что является особой точкой уравнения. Об этом нужно помнить, когда умножая его почленно на x², мы приходим к формуле (1). Уравнение, записанное в виде (1) или в виде (3), называют уравнением Бесселя ν-го порядка или уравнением цилиндрических функций ν-го порядка.Второе название объясняется тем, что к этому уравнению в задачах математической физики приходят в случае применения метода разделения переменных, когда (в силу специфики граничных условий) используются полярные или цилиндрические координаты. Проследим этот путь на примере решения задачи о свободных колебаниях круглой мембраны, которая формулируется следующим образом.

Требуется найти нетривиальное и ограниченное внутри круга решение уравнения колебания струны в полярных координатах

, (2)

удовлетворяющее однородному граничному условию

(3)

где l – радиус круга и начальным условиям

(4)

Представим U в виде

. (5)

Это возможно только тогда когда существует λ, такое что

. (6)

Для уравнения (6) граничные условия перепишутся следующим образом:

(7)

(8)

Начальные условия можно выписать только для произведения функций .

II шаг: Рассмотрим функцию V:

. (9)

Граничные условия имеют вид R(l)=0. (10)

Если мы введем переменные , то получим следующее уравнение

(13)

Это уравнение является частным случаем уравнения Бесселя для задачи о колебании круглой мембраны. В общем случае вместо коэффициента n, равного целому числу, должен стоять произвольный параметр ν, а именно

(13')