Лекция 5. Прямая

Основные понятия:

векторное параметрическое уравнение прямой; параметрические уравнения прямой в пространстве; канонические уравнения прямой; направляющий вектор прямой.

Основные понятия

Прямая в пространстве может быть однозначно определена, если известна точка, принадлежащая прямой, и ненулевой вектор, параллельный прямой (направляющий вектор прямой).

Пусть задана такая точка и вектор (Рис. 5.1).

Если ‑ произвольная текущая точка прямой , то вектор коллинеарен вектору и их соответствующие координаты пропорциональны.

(5.1)

Этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки прямой и только этой прямой. Равенства (5.1) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Обозначим радиус-вектор точки , ‑ радиус-вектор точки . Тогда:

(5.2)

В силу коллинеарности векторов и существует число такое, что . Тогда из (5.2) получим векторное параметрическое уравнение прямой:

(5.3)

В координатной форме уравнение (5.3) равносильно трем уравнениям:

, ,

(5.4)

которые называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Исключая из уравнений (5.4) параметр , легко перейти к каноническим уравнениям прямой (5.1).

Обратный переход от (5.1) к (5.4) осуществляют, приравнивая каждое из трех соотношений (5.1) к . При этом, если знаменатель какого-либо соотношения равен нулю, то необходимо приравнять к нулю его числитель.

Пусть заданы точки и . Составим уравнение прямой, проходящей через заданные точки, пользуясь
рис. 5.1.

Очевидно, что в этом случае направляющим вектором прямой будет вектор . Используя (5.1), получаем искомые уравнения в виде:

(5.5)

Прямую в пространстве можно определить как пересечение двух плоскостей. Рассматривая совместно уравнения этих плоскостей, получим уравнение линии в общем виде:

(5.6)

Система двух уравнений первой степени (5.6) определяет прямую линию при условии, что нормальные векторы и неколлинеарны. Только в этом случае плоскости будут пересекаться. Уравнения (5.6) носят название «общее уравнение прямой в пространстве».

Чтобы перейти от общих уравнений прямой (5.6) к ее каноническим уравнениям (5.1), нужно на прямой найти какую-нибудь точку и определить ее направляющий вектор .

Точку находят, давая произвольное значение одной из переменных , или . Решая систему (5.6), получают значения оставшихся двух переменных.

Направляющий вектор параллелен линии пересечения плоскостей (5.6) и, следовательно, перпендикулярен обоим нормальным векторам плоскостей:

.

Поэтому в качестве можно взять вектор:

(5.7)