Спектральний аналіз

В процесі спектрального аналізу оцінюються зміни амплітудно-частотних характеристик певної ділянки біомедичного сигналу, для чого використовують метод перетворення Фур'є, за допомогою якого сигнал можна розкласти на складові коливання різної частоти і амплітуди.

Формально функцію, яка описує біомедичний сигнал, можна розглядати як періодичну з нескінченно великим періодом. Комплексна величина

(9.3)

називається спектральною густиною або спектральною характеристикою, а її модуль S(ω) – спектром функції f(t).

Можна записати вираз для розрахунку функції за її спектральною характеристикою:

. (9.4)

Вирази (9.3) та (9.4) називаються відповідно прямим та оберненим інтегральними перетвореннями Фур’є. Неперіодична функція має суцільний спектр, що складається з нескінченної кількості гармонік з нескінченно малими амплітудами .

Комплексний вираз для спектральної густини можна представити в алгебраїчній або показниковій формі:

, (9.5)

де

; (9.6)

; (9.7)

; (9.8)

. (9.9)

Як і для ряду Фурьє, модуль спектральної густини є парною функцією, а фаза – непарною функцією відносно частоти .

Дискретне перетворення Фур’є (ДПФ) використовують, коли біомедичний сигнал задано дискретними N точками на інтервалі . ДПФ можна одержати на підставі інтегрального перетворення, записавши його як:

, (9.10)

де ‒ комплексна амплітуда k-ї гармоніки, що має частоту .

Дискретний біомедичний сигнал відновлюється за формулою:

(9.11)

Амплітудний спектр симетричний відносно середини інтервалу, тобто , а фазовий ‒ симетричний і протилежний за знаком, тобто . Загальний спектр складається з двох комплексно-спряжених спектрів, отже, маємо N/2 придатних до аналізу частотних складових.

Швидке перетворення Фур’є (ШПФ) дозволяє скоротити кількість арифметичних дій при звичайному ДПФ в два рази, що досягається за рахунок поділу початкового масиву даних на парні та непарні відліки з подальшим розрахунком перетворення Фур’є для нових послідовностей і об’єднанням результатів розрахунків.

Основна вимога при використанні швидкого перетворення Фур’є ─ сигнал повинен бути періодичним і неперервним, що не виконується в процесі дослідження окремих ділянок зареєстрованого ЕКГ сигналу. Для виконання цієї умови застосовується функція «вікна»: виділяється інтервал ЕКГ сигналу (кінцева частина Р зубця в разі виявлення ППП) і допускається, що це «вікно» ЕКГ сигналу постійно повторюється без переривання іншими зубцями (Р, Т), комплексом QRS та ізоелектричним інтервалом ТР. Точність локалізації низькоамплітудного сигналу в межах інтервалу, який досліджується, визначається вибором ширини вікна. Вибір малої ширини вікна забезпечить більш точну інформацію про часову локалізацію мікросплесків, проте погано вплине на спектральну роздільну здатність.

На точність вимірювання енергії в обраному діапазоні частот впливає явище спектрального «витоку». Енергія досліджуваної частотної смуги «витікає» частково в суміжні частоти, тим самим зменшуючи точність її вимірювання. «Витік» відбувається через те, що всупереч вимозі ШПФ про неперервність сигналу, аналізу піддається лише «часове вікно» (тобто частина зубця Р). Серед функцій «вікна» можна виділити наступні: Блекмана-Харріса, Хеммінга, Хеннінга, прямокутне «вікно».

Основна потужність QRS-комплексу зосереджена в області частот 2 - 30 Гц з наявністю максимуму на частоті близько 15 Гц, зубці Р і Т є більш низькочастотними (рис. 9.14), а наявність пізніх потенціалів передсердь або шлуночків проявляється у вигляді високочастотних складових у діапазоні 40 - 250 Гц (за деякими джерелами до 1000 Гц). Сплески ППП представляються досить слабкими гармоніками на фоні основного спектру, що ускладнює їх виявлення.

Рис. 9.14. Характеристики відносної спектральної щільності потужності ЕКГ сигналу і шумів: 1 – ЕКГ сигнал, 2 – QRS-комплекс, 3 – артефакти руху, 4 – Р, Т зубці, 5 – напруга поляризації, 6 – шуми м’язів,

f_м – частота мережевої завади

Метод ШПФ під час оцінювання енергії спектра частотних складових біомедичних сигналів має ряд недоліків:

1) наявність спектрального «витоку» при аналізі коротких інтервалів і, як наслідок цього, необхідність використання математичних функцій «вікон», які послаблюють сигнал в області, що досліджується;

2) чутливість ШПФ до зміни довжини сегмента, який аналізується;

3) зворотній зв'язок між частотною і часовою роздільною здатністю, через що виникають труднощі при визначенні локалізації діагностично важливих компонент сигналу.

Принцип метода спектрально-часового картування, заснований на локальному перетворенні Фур’є, полягає в обчисленні спектру з використанням «вікна», що рухається вздовж часової вісі:

, (9.15)

де g(t) – функція вікна, S(t) – ділянка кардіосигналу, що досліджується.

За результатами розрахунків будується тривимірний графік частоти, часу і амплітуди. Недоліком методу є можливість впливу різних шумів на результати дослідження.