Предел числовой последовательности

Число А называется пределом числовой последовательности {а_n}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такой номер N (зависящий от e, т.е. N= N(e)), что для всех членов последовательности с номерами n > N верно неравенство |a_n - А| < e.

Предел числовой последовательности обозначается или
a_n ® А при n ® ¥ (говорят, что последовательность стремится к А при стремлении n к бесконечности).

Если последовательность имеет предел, ее называют сходящейся, а в противном случае - расходящейся.

Итак, .

Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших n члены последовательности как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине меньше, чем на число e, каким бы малым оно ни было).

Можно доказать, что последний пример последовательности сходится к единице, т.е. что (1 + (-1)ⁿ/n) ® 1 при n ® ¥. Рассмотрим |(1 + (-1)ⁿ/n) - 1| = |(-1)ⁿ/n| = 1/n. Для e > 0 1/n < e при n > 1/e. Определим N= N(e), как целую часть от 1/e. Таким образом, для . Утверждение доказано.

Если вспомнить, что множество точек a_n на числовой прямой таких, что неравенство |a_n - А| < e (где e > 0) называется e-окрестностью точки А, то можно определить предел последовательности по-другому, геометрически (см. рисунок 2.2). Число А есть предел числовой последовательности {а_n}, если для любого e > 0 найдется номер N, начиная с которого все члены последовательности будут заключены в e-окрестности точки А. Вне этой e-окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.