Признаки существования и основные свойства пределов

Рассмотрим признаки существования предела и некоторые свойства пределов (здесь соответствующие теоремы доказываться не будут).

Признаки существования предела[1]

I. Существование предела монотонной ограниченной функции. Если функция монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Здесь возможны следующие варианты:

1) Если функция ограничена сверху f(x) £ M, то ее предел А £ M. Причем если она

а) не убывает, то она имеет предел А при x ® х₀-0 (слева) и x ® +¥
(см. рис. 2.5)

б) не возрастает, то она имеет предел А при x ® х₀+0 (справа) и
x ® -¥ (см. рис. 2.6)

2) Если функция ограничена снизу f(x) ≥ M, то ее предел А ≥ M. Причем если она

а) не убывает, то она имеет предел А при x ® х₀-0 (справа) и x ® -¥
(см. рис. 2.7)

б) не возрастает, то она имеет предел А при x ® х₀-0 (слева) и
x ® +¥ (см. рис. 2.8)

II. Теорема «о двух милиционерах»[2]. Если функция y = f(х) заключена между двумя функциями f₁(х) и f₂(х), имеющими одинаковый предел, то функция f(х) имеет тот же предел (при той же базе).

Т.е. если f₁(х) £ f(х) £ f₂(х) и , то .