Предел функции в бесконечности
Число А называется пределом функции y = f(х) при х, стремящемся к бесконечности,если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такое положительное число S (зависящее от e, т.е. S = S(e)), что для всех х таких, что |х| > S, верно неравенство: |f(x) - А| < e.
Отметим, что отличие этого определения от определения предела последовательности состоит в том, что для последовательности переменная n принимала только натуральные значения, а здесь х принимает любые значения.
Предел функции в бесконечности обозначается или
f(x) ® А при x ® ¥.
Итак, .
Смысл определения состоит в том, что для достаточно больших по модулю значениях аргумента значения функции как угодно мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Геометрический смысл определения можно пояснить рисунком 2.3.
|
Итак, число А есть предел функции у = f(x) при x ® ¥, если для любого e > 0 найдется такое число S > 0, что для всех х таких, что |х| > S, соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в e-окрестности точки А на оси ординат. При этом соответствующая часть графика будет находиться в полосе шириной 2e.
Понятие предела функции в бесконечности можно сформулировать и при стремлении х к бесконечности определенного знака. Отличие будет состоять в том, что аргумент функции неограниченно возрастает не по абсолютной величине, а x ® +¥ (тогда в определении вместо |х| > S будет стоять неравенство х > S) либо x ® -¥ (тогда в определении вместо |х| > S будет стоять неравенство х < -S).
Предел функции в точке
Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к х0 (или вточке х0),если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такое положительное число d (зависящее от e, т.е. d = d (e)), что для всех х ¹ х0 таких, что |х - х0| < d, верно неравенство: |f(x) - А| < e.
Предел функции в точке х0 обозначается или
f(x) ® А при x ® х0.
.
Смысл определения состоит в том, что для всех значений аргумента, достаточно близких к х0, значения функции как угодно мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Геометрический смысл определения можно пояснить рисунком 2.4.
|
Итак, число А есть предел функции у = f(x) при x ® х0, если для любого e > 0 найдется такая d-окрестность точки х0, что для всех х ¹ х0 из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции f(х) будут заключены в e-окрестности точки А на оси ординат. При этом соответствующая часть графика будет находиться в полосе шириной 2e.
Подчеркнем, что определение предела не требует существования функции в самой точке х0. Рассматривая предел, предполагают, что х стремится к х0, но не достигает этого значения. Поэтому наличие или отсутствие предела определяется поведением функции в окрестности точки х0, а не тем, определена или нет функция в самой этой точке.
Понятие предела функции в точке можно сформулировать и в смысле одностороннего предела. Отличие будет состоять в том, что аргумент функции принимает лишь значения x < x0 (тогда в определении вместо
|х - х0| < d рассматривается интервал х0 - d < x < х0, а предел называют пределом слева и обозначают ) либо лишь значения x > x0 (тогда в определении вместо |х - х0| < d рассматривается интервал х0 < x < х0 + d, а предел называют пределом справа и обозначают ).
Если , то , и наоборот (т.е. если в некоторой точке функция имеет пределы слева и справа, и они равны, то двусторонний предел тоже существует и равен тому же числу; и наоборот, - если существует двусторонний предел, то существуют и односторонние, равные ему же).
Условие, определяющее поведение аргумента, которое мы записывали под обозначением предела, будем называть базой предела и обозначать В в записи .
Дата добавления: 2015-10-06; просмотров: 803;