Числовая последовательность и ее свойства

Пределы. Непрерывность функций

Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие вполне определенное число а_n, то говорят, что задана числовая последовательность {а_n}: a₁, a₂, … a_n, …

Можно сказать, что числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел а_n = f(n), nÎN.

При этом числа a₁, a₂, … называют членами последовательности, а

a_n – ее общим членом.

Примеры числовых последовательностей:

100, 200, 100*n,...;

5, -5, 5, -5, …;

0, 3/2, 2/3, 5/4, …, (1 + (-1)ⁿ/n), …

Для числовых последовательностей можно сформулировать свойства монотонности так же, как и для функций. Например, в первом из рассмотренных примеров последовательность является возрастающей и неограниченной. В остальных двух примерах последовательности монотонными не являются. Вторая последовательность является ограниченной (ее общий член по модулю не превышает 5). В последнем примере последовательность также ограничена – снизу нулем, а сверху числом 1,5.

Рассмотрим последний пример (на рисунке 2.1 члены этой последовательности изображены на числовой оси). В этой последовательности первый член равен нулю, а в остальных членах в знаменателе стоит номер члена, а числитель на единицу больше номера, если номер четный, или на единицу меньше номера, если номер нечетный. При этом легко заметить, что все нечетные члены меньше единицы, а четные – больше единицы, но с ростом номера расстояние до единицы на числовой оси становится все меньше. Действительно: |a₁ - 1| = 1, |a₂ - 1| = 1/2, |a₃ - 1| = 1/3,..., |a_n - 1| = 1/n,... Таким образом, с ростом n |a_n - 1| будет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа.