Свойства непрерывных функций

Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функции f1(х) и f2(х) непрерывны в точке х0, то их сумма
f1(х) + f2(х), произведение f1(х)*f2(х) и частное f1(х)/f2(х) (при условии
f2(х) ¹ 0) также являются функциями, непрерывными в точке х0.

Это следует из определения непрерывности и свойств пределов функций.

2. Если функция у = f(х) > 0 непрерывна в точке х0 и f(х0) > 0, то существует такая окрестность точки x0, в которой f(х) > 0.

В самом деле, при малых приращениях аргумента в соответствии со вторым определением непрерывности можно получить сколь угодно малое приращение функции, так что знак функции в окрестности точки не изменится.

3. Если функция y = f(u) непрерывна в точке u0 , а функция u = j(х)

непрерывна в точке u0 = j(х0), то сложная функция y = f([(j(х)] непрерывна в точке х0: . Иными словами, под знаком сложной функции можно переходить к пределу.

 

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны на любом промежутке из области их определения.

На рисунке 9.12 представлены графики функций, непрерывных на отрезке [a; b].

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке (см. рисунок 2.12 (а)).

2. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем наименьшего значения и наибольшего значения М (теорема Вейерштрасса) (см. рисунок 2.12 (б), m - наименьшее значение, M - наибольшее значение).

3. Если функция непрерывна на отрезке, и ее значения на концах этого отрезка имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка, в которой значение функции равно нулю (теорема Больцано-Коши) (см. рисунок 2.12 (в), в точке c Î[a; b] f(c) = 0).

 


[1] Чтобы проиллюстрировать случай, когда предел не существует, можно, например, на рис. 2.4 изменить график функции таким образом, чтобы он бесконечно приближался к вертикальной асимптоте х = х0 + d или х = х0 - d.

 

[2] Происхождение названия теоремы: график функции f1(х) - траектория движения первого милиционера в участок А, график f2(х) - траектория движения второго милиционера в тот же участок, а график f(х) - траектория движения пьяного, который, в соответствии с неравенством
f1(х) £ f(х) £ f2(х) в любой момент х находится между двумя милиционерами. Тогда и пьяный неизбежно придёт туда же, в участок А.

 

[3] Можно показать, что любую показательную функцию можно свести к экспоненциальной. Действительно, пусть у = ax = (eln a)x = ex*ln a = еbx , где
b = ln a.








Дата добавления: 2015-10-06; просмотров: 811;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.