Для любого m существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что
| f(0) = m, |
| f(n') = f(n)'. |
1.7 Существует функция g из w ґ w в w такая, что
| g(m, 0) = m, |
| g(m, n') = g(m, n). |
1.8 Такая функция g единственна.
Определение 1 (Сумма). Для этой функции g число g(m, n) называется суммой m и n и обозначается m + n .
Так, для любых натуральных чисел m и n:
| m + 0 = m, | (1) |
| m + n'= (m + n)'. |
Корректность определения сложения была выведена из аксиом Пеано Лазло Кальмаром в 1929 году.
1.9 2 + 2 = 4.
1.10 n'= n + 1.
1.11 (k + m) + n = k + (m + n).
1.12 0 + n = n.
1.13 m'+ n = m + n'.
1.14 m + n = n + m
1.15 Если k + m = k + n, то m = n.
Порядок
Определение 2 (Порядок). Мы пишем m Ј n , если для некоторого k: n = m + k.
1.16 0 Ј n.
1.17 n Ј n.
1.18 n Ј n'.
1.19 n Ј 0 тогда и только тогда, когда n = 0.
1.20 Если k Ј m и m Ј n, то k Ј n.
1.21 Если m Ј n и n Ј m, то m = n.
1.22 Если m Ј n и m № n, то m'Ј n.
1.24 k + m Ј k + n тогда и только тогда, когда m Ј n.
Определение 3. Мы пишем m < n , если m Ј n и m № n.
Lt; 4.
1.26 Любые натуральные числа m и n удовлетворяют по крайней мере одному из условий: m = n, m < n, n < m.
1.27 Любые натуральные числа m и n удовлетворяют в точности одному из этих условий.
1.28 Для любых натуральных чисел m и n, следующие условия эквивалентны:
5. m Ј n,
6. m < n или m = n,
7. m < n'.
Наименьший элемент
Определение 4 (Наименьший элемент). Элемент n множества A натуральных чисел называется его наименьшим элементом, если для любого элемента m из A n Ј m.
1.29 Любое множество натуральных чисел имеет не более одного наименьшего элемента.
1.30 Для любого множества A натуральных чисел если 0 О A, то 0 является наименьшим элементом A.
1.31 Для любого множества A натуральных чисел если 1 О A, то A имеет наименьший элемент.
1.32 Любое непустое множество натуральных чисел имеет единственный наименьший элемент.
Умножение
Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 854;