Для любого m существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что

f(0) = m,
f(n') = f(n)'.

1.7 Существует функция g из w ґ w в w такая, что

g(m, 0) = m,
g(m, n') = g(m, n).

1.8 Такая функция g единственна.

Определение 1 (Сумма). Для этой функции g число g(m, n) называется суммой m и n и обозначается m + n .

Так, для любых натуральных чисел m и n:

m + 0 = m, (1)
m + n'= (m + n)'.

Корректность определения сложения была выведена из аксиом Пеано Лазло Кальмаром в 1929 году.

1.9 2 + 2 = 4.

1.10 n'= n + 1.

1.11 (k + m) + n = k + (m + n).

1.12 0 + n = n.

1.13 m'+ n = m + n'.

1.14 m + n = n + m

1.15 Если k + m = k + n, то m = n.

Порядок

Определение 2 (Порядок). Мы пишем m Ј n , если для некоторого k: n = m + k.

1.16 0 Ј n.

1.17 n Ј n.

1.18 n Ј n'.

1.19 n Ј 0 тогда и только тогда, когда n = 0.

1.20 Если k Ј m и m Ј n, то k Ј n.

1.21 Если m Ј n и n Ј m, то m = n.

1.22 Если m Ј n и m n, то m'Ј n.

1.24 k + m Ј k + n тогда и только тогда, когда m Ј n.

Определение 3. Мы пишем m < n , если m Ј n и m n.

Lt; 4.

1.26 Любые натуральные числа m и n удовлетворяют по крайней мере одному из условий: m = n, m < n, n < m.

1.27 Любые натуральные числа m и n удовлетворяют в точности одному из этих условий.

1.28 Для любых натуральных чисел m и n, следующие условия эквивалентны:

5. m Ј n,

6. m < n или m = n,

7. m < n'.

Наименьший элемент

Определение 4 (Наименьший элемент). Элемент n множества A натуральных чисел называется его наименьшим элементом, если для любого элемента m из A n Ј m.

1.29 Любое множество натуральных чисел имеет не более одного наименьшего элемента.

1.30 Для любого множества A натуральных чисел если 0 О A, то 0 является наименьшим элементом A.

1.31 Для любого множества A натуральных чисел если 1 О A, то A имеет наименьший элемент.

1.32 Любое непустое множество натуральных чисел имеет единственный наименьший элемент.

Умножение








Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 905;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.