Эти аксиомы были введены Джузеппе Пеано в 1889 году.

Начальные задачи

Определения. 1 = 0', 2 = 1', 3 = 2', 4 = 3' .

В каждой из следующих задач получите данное утверждение из аксиом.

1.1 2 № 4.

1.2 n' № n.

Решение. Рассмотрим множество A натуральных чисел n таких, что n' № n. Наша цель – показать, что A = w, и мы сделаем это, используя аксиому 3. Сначала нам надо проверить, что 0 О A, то есть 0' № 0. Это следует из аксиомы 1. Теперь возьмём любое натуральное число n и предположим, что n О A, то есть n' № n. Нам надо вывести из этого предположения, что n'О A – это значит, что n'' № n'. Предположим, что n''= n'. Тогда, по аксиоме 2, n'= n, а это противоречит тому, что n' № n.

Это доказательство, разумеется, ``доказательство по индукции''. Условия 1 и 2 аксиомы 3 являются ``базисом'' и ``индуктивным шагом''. Аксиома 3, которая служит для построения доказательств подобных этому, называется аксиомой индукции.

1.3 Если n № 0, то существует натуральное число m такое, что n = m'.

Чтобы определить сумму двух натуральных чисел, нам надо доказать корректность хорошо известного рекурсивного определения сложения (уравнения (1) ниже), то есть существование и единственность функции, удовлетворяющей этим уравнениям. Эти факты сформулированы здесь как задачи 1.7 и 1.8.

Существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что