Задача Д1

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость v₀, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0-Д1.9, табл. Д1). На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения).

Рис. Д1.8 Рис. Д1.9

Таблица Д1

В точке В груз, не изменяя значения своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила , проекция которой F_x на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. х =f(t), где х = BD. Трением груза о трубу пре­небречь.

Указания. Задача Д1 - на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения на участке АВ или его длину, определить, какую скорость будет иметь груз в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая, что в этот момент времени t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти в уравнении к переменному х, учтя, что

.

Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления ; расстояние от точки А, где v=v₀, до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F(t), заданная в ньютонах.

Дано: m = 2 кг, R = μ v², где μ = 0,4 кг/м, v₀ = 5 м/с, l= 2,5 м,

F_x = 16 sin (4t).

Определить: х = f (t) - закон движения груза на участке ВС.

Решение.1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы и . Проводим ось Az и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

или . (1)

Далее находим: Р_z = Ρ = mg, R_z =-R =-μv²; подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, что ν_z = v, получим

или . (2)

Введем для сокращения записей обозначения

Рис. Д1 =0,2 м^-1, =50 м²/с², (3)
где при подсчете принято g 10 м/с². Тогда уравнение (2) можно представить в виде

. (4) Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим

и ln(v²-n)=-2kz+C₁. (5)

По начальным условиям при z = 0 v=v₀, что дает С₁=ln(-n), и из равенства (5) находим или . Отсюда

и .

В результате находим

. (6)

Полагая в равенстве (6) z= l= 2,5 м и заменяя k и n их значениями (3), определим скорость v_B груза в точке В (v₀= 5 м/с, число е = 2,7) :

= 50 - 25/е = 40,7 и v_B = 6,4 м/с. (7)

2. Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скорость v_B будет для движения на этом участке начальной скоростью· (v₀=v_B). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы =, и .

Проведем из точки В ось Вх и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

(8) Так как Р_х= Ρsin 30° = 0,5 mg, N_x = 0, F_x = 16sin(4t), то уравнение (8) примет вид

. (9)

Разделив обе части равенства на m=2 кг и полагая опять g 10м/с², получим

. (10)

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем

v_х = 5t - 2 cos (4t) + С₂. (11)

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t= 0. Тогда при t= 0 v_х = v₀ = v_B. где v_B дается равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим

С₂ = v_B + 2 cos 0 = 6,4 + 2 = 8,4.

При найденном значении С₂ уравнение (11) дает

(12)

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем

x = 2,5t² - 0,5 sin (4t) + 8,4t + С₃. (13)

Так как при t = 0 x = 0, то С₃ = 0 и окончательно искомый закон движения груза будет

x = 2,5t² - 0,5 sin (4t) + 8,4t, (14)

где x - в метрах, t - в секундах.