Задача К1
Таблица К1
| Номер усло-вия | y=f2(t) | ||
| Рис. 0-2 | Рис. 3-6 | Рис. 7-9 | |
| 4 – 9cos (πt/6) | t2 - 2 | - 4cos(πt/3) | |
| 2-3 cos(πt/3) | 8cos (πt/4) | 10sin (πt/6) | |
| 4 –6cos2 (πt/6) | 4 + 2t2 | 12sin2 (πt/6) | |
| 12cos (πt/6) | 2(t + 1)2 | 2 - 4sin (πt/6) | |
| 9cos (πt/3)+ 5 | 2 + 2sin (πt/4) | 12cos (πt/3)+ 13 | |
| -10cos (πt/6) | 3t2 - 2 | 3sin (πt/6) | |
| 8cos (πt/6) - 3 | (t + 1)3 | 16sin2 (πt/6) - 14 | |
| –9cos2 (πt/6) | 3 – 4cos (πt/4) | 6cos (πt/3) | |
| 6cos (πt/3) - 4 | 2t3 | 4 - 9sin (πt/6) | |
| 2 - 2cos (πt/6) | 2sin (πt/4) | 8cos (πt/3)+ 6 |
Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0-К1-9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x = f1(t), y=f2(t), где x и у выражены в сантиметрах, t -в секундах.
Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1 = 1с
определить скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Зависимость x= f1(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y=f2(t), дана в табл. Κ1 (для рис. 0-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4). Как и в задачах С1, С2, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 - по последней.
Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.
В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1 = 1 с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: cos 2α = 1 - 2sin2 α = 2cos2 α – 1;
sin 2α = 2 sin α . cos α.
Пример K1. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:
х= –2cos (πt/4)+3, y = 2sin (πt/8) - 1
(x, у - в сантиметрах, t - в секундах).
Определить уравнение траектории точки; для момента времени t1 = 1 с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Решение: 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу
cos 2α = 1 - 2sin2α или cos (πt/4) = 1 - 2sin2 (πt/8) . (1)
Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим
cos(πt/4) =, sin(πt/8) =;
следовательно,
=1-2.
Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (парабола, рис. К1):
х = (y+1)2 + 1. (2)
2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:
vx==sin(πt/4) ;
vy== cos(πt/8);
рис. К1
и при t=1с:
v1x=1,11 см/с; v1y=0,73 см/с; v1=1,33 см/с. (3)
3. Аналогично найдем ускорение точки:
ax= =cos(t) ; ay==-;
a=
и при t = 1 с:
a1x = 0,87 см/с2; a1y= -0,12 см/с2; a1 =0,88 см/с2. (4)
4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство
v2 =. Получим
и
. (5)
Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при t1 = 1 c = 0,66 см/с2.
5.Нормальное ускорение точки an = . Подставляя сюда найденные числовые значения a1 и, получим, что при t1 = 1с = 0,58 см/с2.
6.Радиус кривизны траектории . Подставляя сюда числовые значения υι и, найдем, что при t1= 1 с = 3,05 см.
Ответ: = 1,33 см/с, а1 = 0,88 см/с2, = 0,66 см/с2, = 0,58 см/с2,
= 3,05 см.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 2052;