Задача С2

Однородная прямоугольная плита весом Ρ = 5 кН со сторонами АВ = 3l, ВС = 2l, закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем (рис. С2.0-С2.9).

Рис. С2.1

Рис. С2.2 Рис. С2.3

На плиту действуют пара сил с моментом Μ=6кН·м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С2; при этом силы и лежат в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила - в плоскости, параллельной xz, сила - в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (Д, Е, Н) находятся в серединах сторон плиты.

Таблица С2

Сила

F₁ =4 кН F₂= 6 кН F₃ = 8 кН F₄= 10 кН

Определить реакции связей в точках A, В и С. При подсчетах принять l = 0,8 м.

Указания. Задача С2 - на равновесие тела под действием пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира (или подпятника) имеет три составляющие, а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) - две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. При вычислении моментов силы тоже часто

Рис. С2

удобно разложить ее на составляющие и , параллельные координатным осям; тогда, по теореме Вариньона m_х () = m_х () +m_х () и т.д.

Пример С2. Вертикальная прямоугольная плита весом Ρ (рис. С2) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD', лежащим в плоскости, параллельной плоскости уz. На плиту действуют сила , (в плоскости хz), сила (параллельная оси у) и пара сил с моментом Μ (в плоскости плиты).

Дано: F = 5 κΗ, Μ= 3 кН · м, F₁ = 6 кН, F₂ = 7,5 кН, α = 30°, АВ=1м,

ВС= 2 м, СЕ= 0,5 АВ, ВК = 0,5 ВС.

Определить: реакции опор А, В и стержня DD'.

Решение: 1. Pассмотрим равновесие плиты. На нее действуют заданные силы , , , и пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие , , , цилиндрического (подшипника) - на две составляющие , (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут.

2. Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиту пространственной системы сил:

Σ F_kx = 0, Х_А + F₁ cosα = 0, (1)

Σ F_ky = 0, Υ_А + Υв + F₂ - N cos 75° = 0, (2)

Σ F_kz = 0, Z_A + Ζ_B - Ρ - N sin 75° + F₁ sinα = 0, (3)

Σ m_x ()= 0, -F₂·BK + N cos(75°)·BC=0, (4)

Σ m_y()=0, Ρ·(AB/2) + F₁ cosα·ВС – F₁ sinα – Z_A·AB + N sin(75°)·AB+ M=0, (5)

Σ m_z () = 0, Y_A·AB - N cos 75° ·AB = 0. (6)

Для определения момента силы относительно оси у раскладываем на составляющие и , параллельные осям x и z (F₁' = F₁cosα, F₁'' = F₁sinα), и применяем теорему Вариньона (см. указания). Анало­гично можно поступить при определении моментов реакции .

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех заданных величин и решив затем эти уравнения, найдем, чему равны искомые реакции.

Ответ: Х_А = -5,2 кН, Υ_Α = 3,8 кН, Ζ_Α = 28,4 кН, Υ _B = -7,5 кН, Ζ _B = -12,4 кН,

Ν=14,5кН. Знаки указывают, что силы , инаправлены противоположно показанным на рис. С2.