Задача К2

Плоский механизм состоит из стержней 1-4 к ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, и О₂ шарнирами (рис. К2.0-К2.9). Длины стержней: l₁ = 0,4 м, l₂ = 1,2 м, l₃= 1,4 м, l₄ = 0,8 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ, кото­рые вместе с другими величинами заданы в табл. К2. Точка D на всех рисунках и точка К на рис. К2.7-К2.9 в середине соответствующего стержня. Определить величины, указанные в таблице в столбце "Найти". Найти также ускорение а_А точки А стержня 1, если стержень 1 имеет в данный момент времени угловое ускорение = 10 с^-2.

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа должны откладываться соответствующие углы, т.е. по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис. 1 следует отложить от стержня DE против хода часовой стрелки, а на рис. 2 - от стержня АЕ по ходу часовой стрелки).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом ; ползун В и его направляющие для большей наглядности изобразить, как в примере К2 (см. рис. К2). Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость - от точки В к b.

Указания. Задача К2 - на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

Пример К2. Механизм (рис. К2, а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, и О₂ шарнирами.

Таблица K2

Рис. К2

Дано: = 120°, = 60°, = 90°, φ = 0°, = 30°, AD = DE, l₁ = 0,6 м,

1₃ = 1,2м, ω₁ = 5с^-1, =8 с^-2.

Определить:, , ω₃ и а_А.

Решение: 1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К2, б) .

2. Определяем . Точка Ε принадлежит стержню АЕ. Чтобы найти
, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи можем определить

=ω₁l₁ =5· 0,6 = 3 м/с; O₁A. (1)

Направление найдем, учтя, что точка Ε принадлежит одновременно стержню Ο₂Ε, вращающемуся вокруг О₂; следовательно, . Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АЕ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АЕ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одина­ковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

cos 60° = cos30⁰; = 3= 5,2 м/с. (2)

3. Определяем . Точка В принадлежит стержню ВD. Следовательно,
по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АЕ. Для этого,
зная и , построим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АЕ;
это точка С₂, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек А и Ε (к и перпендикулярны стержни 1 и 4).
По направлению вектора определяем направление поворота стержня
АЕ вокруг МЦС С₂. Вектор будет перпендикулярен отрезку C₂D,
соединяющему точки D и С₂, и направлен в сторону поворота. Величину
найдем из пропорции

. (3)

Чтобы вычислить C₂D и С₂А, заметим, что АС₂Е- прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30 и 60° , и что С₂А = АЕ sin 30° = 0,5 АЕ = AD. Тогда АС₂D является равносторонним и С₂А = C₂D. В результате равенство (3) дает

м/с;. (4)

Так как точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно, то направление известно. Тогда, восстановляя из точек В и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС С₃ стержня BD. По направлению вектора определяем направление поворота стержня BD вокруг центра С₃. Вектор будет направлен в сторону поворота стержня BD. Из рис. К2, б видно, что C₃DB = 30°, a DC₃В = 90°, откуда С₃В=l₃ sin 30°, C₃D = l₃ cos 30°. Составив теперь пропорцию, найдем, что

; = 1,7м/с. (5)

4. Определяем ω₃. Так как МЦС стержня 3 известен (точка С₃), то

= 2,9 с^-1.

5. Определяем а_А. Так как известно, то а_Аτ= . Далее а_Аn=
=/l₁ или а_Аn = . Тогда а_А =. Произведя вычисления,
получим а_А = 15,8 м/с².

Ответ: v_Ε= 5,2 м/с, v_B = 1,7 м/с, = 2,9 с^-1 , а_А = 15,8 м/с².