Гипотезы о средних величинах и видах распределения

Определение: Статистической гипотезой называется всякое непротиворечивое множество утверждений {Н₀, Н₁, …, H_k-1} относительно свойств распределения случайной величины. Любое из утверждений H_i называется альтернативой гипотезы. Простейшей гипотезой является двухальтернативная {H₀, H₁}. В этом случае альтернативу H₀ называют нулевой гипотезой, а H₁ - конкурирующей гипотезой.

Определение: Критерием называется случайная величина , которая позволяет принять или отклонить нулевую гипотезу H₀.

При проверке гипотез можно допустить ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отклонена гипотеза H₀, если она верна ("пропуск цели"). Вероятность совершить ошибку первого рода обозначается α и называется уровнем значимости. Наиболее часто на практике принимают, что α = 0,05 или α = 0,01.

Ошибка второго рода заключается в том, что гипотеза H₀ принимается, если она неверна ("ложное срабатывание"). Вероятность ошибки этого рода обозначается β.

Определение: Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения.

Критерий согласия

Это один из наиболее часто применяемых критериев. Алгоритм проверки гипотезы следующий.

1. Построить гистограмму равновероятностным способом.

2. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу

,

,

где f₀(x) - плотность вероятности гипотетического закона распределения: равномерного, экспоненциального или нормального.

Замечание. Гипотезу об экспоненциальном законе распределения можно выдвигать в том случае, если все числа в выборке положительные.

3. Вычислить значение критерия по формуле

где - частота попадания в i-й интервал;

- теоретическая вероятность попадания случайной величины в i- й интервал при условии, что гипотеза H₀ верна.

Формулы для расчета в случае экспоненциального, равномерного и нормального законов соответственно равны.

Экспоненциальный закон

При этом A₁ = 0, B_m = +∞.

Равномерный закон

Нормальный закон

При этом A₁ = -∞, B_M = +∞.

Замечания. После вычисления всех вероятностей проверить, выполняется ли контрольное соотношение

4. Из таблицы "Хи-квадрат" приложения выбирается значение , где α - заданный уровень значимости (α = 0,05 или α = 0,01), а k - число степеней свободы, определяемое по формуле

Здесь s - число параметров, от которых зависит выбранный гипотезой H₀ закон распределения. Значения s для равномерного закона равно 2, для экспоненциального - 1, для нормального - 2.

5. Если , то гипотеза H₀ отклоняется. В противном случае нет оснований ее отклонить.

Критерий согласия Колмогорова

Последовательность действий при проверке гипотезы следующая.

1. Построить вариационный ряд.

2. Построить график эмпирической функции распределения F^*(x).

3. Выдвинуть гипотезу:

,

,

где F₀(x) - теоретическая функция распределения типового закона: равномерного, экспоненциального или нормального.

Ниже приведены формулы для расчета F₀(x).

Равномерный закон

Экспоненциальный закон

Нормальный закон

4. Рассчитать по формулам 10-20 значений и построить график функции F₀(x) в одной системе координат с функцией F^*(x).

5. По графику определить максимальное по модулю отклонение между функциями F^*(x) и F₀(x).

6. Вычислить значение критерия

7. Принимают тот или иной уровень значимости (чаще всего 0,05 или 0,01). Тогда доверительная вероятность γ =1−α .

8. Из таблицы вероятностей Колмогорова (см. приложение) выбрать критическое значение λ_γ.

9. Если λ > λ_γ , то нулевая гипотеза H₀ отклоняется, в противном случае - принимается, хотя она может быть неверна.

Достоинства критерия Колмогорова по сравнению с критерием χ²: возможность применения при очень маленьких объемах выборки (n < 20), более высокая «чувствительность» а следовательно, меньшая трудоемкость вычислений.

Недостаток: критерий можно использовать в том случае, если параметры Q₁, ..., Q_k распределения заранее известны, а эмпирическая функция распределения F^*(x) должна быть построена по несгруппированным выборочным данным.

Задание для самостоятельной работы:

Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия χ² и критерия Колмогорова (α = 0,05).

Рекомендуемая литература: 3; 4; 5