Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции
Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение находится в виде:
Таким образом, для решения надо определить:
1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;
2) как найти эту функцию.
Если дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:
т.е.
Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:
Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом:
.
Рассмотрим вопрос о нахождении функции u.
Проинтегрируем равенство :
Определим функцию . Продифференцируем полученное равенство по у:
Откуда получаем:
Для нахождения функции необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако перед интегрированием необходимо доказать, что функция не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю:
Теперь определяем функцию :
.
Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:
Общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:
Заметим, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым была получена формула.
Пример. Решить уравнение .
Проверим условие полных дифференциалов:
Условие полных дифференциалов выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Определяем функцию u.
.
Таким образом,
Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
9. Дифференциальные уравнения вида и
Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции:
Для уравнения первого типа получаем:
Делая замену, получаем:
В результате этих преобразований получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:
Исключая из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.
Для дифференциального уравнения вида с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 540;