Неравенства с модулем

I тип: неравенство содержит некоторое выражение под модулем и число вне модуля:

где (3.27)

Решение зависит от знака числа а.

1. Если то неравенство (3.27) не имеет решений.

2. Если то неравенство (3.27) равносильно системе неравенств

где (3.28)

1. Если то неравенство (3.28) не имеет решений.

2. Если то неравенство (3.28) равносильно уравнению

3. Если , то неравенство (3.28) равносильно системе неравенств

где (3.29)

1. Если то решением неравенства (3.29) является множество всех значений х из ОДЗ выражения

2. Если то решением неравенства (3.29) является множество всех значений х из ОДЗ выражения таких, что

3. Если то неравенство (3.29) равносильно совокупности

где (3.30)

1. Если то решением неравенства (3.30) является множество всех значений х из ОДЗ выражения

2. Если то неравенство (3.30) равносильно совокупности

II тип: неравенство, которое содержит выражение с переменной под знаком модуля и вне его:

(3.31)

где – некоторые выражения с переменной х.

Для решения неравенств типа (3.31) можно использовать следующие способы.

1-й способ: используя определение модуля, получаем равносильную совокупность систем:

2-й способ: решаем аналогично решению неравенства (3.29) при дополнительном ограничении на знак выражения

1. Если

(3.32)

то решением является множество всех значений х из ОДЗ выражения которые удовлетворяют условию (3.32).

2. Если

то решением является множество всех значений х, которые удовлетворяют системе

3. Если решение определяется системой

Ответом в решении неравенства (3.31) является объединение всех решений, полученных на этапах 1–3.

3-й способ: метод интервалов.

Для решения необходимо:

1) найти значения х, для которых

2) найденные значения х нанести на числовую ось;

3) определить знак выражения на всех полученных промежутках;

4) нарисовать кривую знаков;

5) раскрыть модуль, пользуясь рисунком, и получить соответствующее неравенство, которое следует решить вместе с условием принадлежности переменной х определенному промежутку;

6) в ответе неравенства указать совокупность полученных решений.

III тип: неравенство содержит несколько модулей и решается двумя способами:

1-й способ: можно использовать определение модуля и решать совокупность систем неравенств. Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способ: использовать метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей содержится в неравенстве. Для каждого промежутка следует решать полученное после раскрытия модулей неравенство при условии, что переменная х принадлежит конкретному промежутку. В ответе указывают объединение всех полученных решений.

IV тип: неравенство вида

где (3.33)

решается двумя способами:

1-й способ: метод интервалов.

2-й способ: согласно теореме равносильности (см. свойства равносильности неравенств (3.22) и (3.23)) неравенство (3.33) можно возводить в квадрат:

Решение неравенства (3.33) сводится к решению неравенства

Аналогично решают неравенства IV типа (3.33), если они заданы со знаками

V тип: неравенства, решаемые заменой переменной.

В таком случае выражение с модулем обозначают новой переменной. Неравенство с новой переменной решают до конца (т. е. до возможного получения промежутков решения для новой переменной). Затем возвращаются к старой переменной и решают полученные неравенства с модулем как неравенства I типа.

Пример 1.Решить неравенства:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Решение. 1) Решаем как неравенство I типа:

Получаем ответ:

2) Решаем как неравенство I типа:

Второе неравенство совокупности не имеет решения (соответствующая парабола лежит над осью Ох). Первое неравенство сводится к виду

Его решение: это и есть ответ.

3) Решаем как неравенство II типа. Оно имеет решение, если Поэтому получаем равносильную систему:

Получаем ответ:

4) Заданное неравенство может быть записано в виде

Заменим переменную Решаем неравенство

Его решение

Возвращаемся к переменной х и решаем совокупность

Получаем

т. е. приходим к ответу

5) Для решения неравенства используем метод интервалов. Запишем неравенство в виде

Построим числовые прямые и определим знаки выражений, стоящих под модулем (рис. 3.10).

ОДЗ:

Рис. 3.10

а) рассмотрим неравенство на 1-м промежутке. Получаем систему

(3.34)

Решаем неравенство

Получаем

Система (3.34) сводится к системе

На данном промежутке решений нет.

б)

Если , то С учетом рассматриваемого промежутка имеем:

Получаем

в)

Решением является промежуток:

Объединим полученные решения и приходим к ответу:

6)

ОДЗ:

Введем новую переменную:

тогда и приходим к неравенству вида

Решаем его

Используем метод интервалов (рис. 3.11).

Рис. 3.11

Запишем полученное решение в виде совокупности:

Вернемся к переменной х:

(3.35)

– выполняется при любых

С учетом ОДЗ второе неравенство системы (3.35) равносильно системе

Получаем ответ: