Приклад розв’язання задачі. 1. Сили реакції шнура F1 і F2 .

Дано:

m₁ = 100 г = 0,1 кг

m₂ = 700 г = 0,7 кг

m = 300 г = 0,3 кг

d = 30 мм = 30×10^{-3 м}

H = 0,2 м

Знайти:

1. Сили реакції шнура F₁ і F₂ .

2. Лінійне прискорення тягарів а.

3. Кутове прискорення блоку e.

4. Час, протягом якого тягар m₁ або m₂ впаде на поверхню.

5. Кількість оборотів блоку до падіння тягаря на поверхню.

6. Побудувати графіки залежності від часу лінійної швидкості тягарів v(t), кутової швидкості блоку e(t), кінетичній енергії тягарів E_к1(t) і Ек2(t), потенційної енергії тягарів E_п1(t) і E_п2(t), моменту імпульсу блоку L(t).

Тягарі рухаються прямолінійно і рівноприскорено, блок виконує обертальний прискорений рух. за умовою завдання m₂ > m₁, тому тягар m2 опускається, а тягар m₁ піднімається.

2-й закон Ньютона для 1-го тягаря:

(1)

де F₁ - сила реакції шнура, прикладена до тягаря m₁, g = 9,8 м/с² - прискорення вільного падіння, а – лінійне прискорення тягаря, m₁g – сила тяжіння, що діє на тягар m₁.

2-й закон Ньютона для 2-го тягаря:

(2)

Рівняння динаміки обертального руху блоку:

, (3)

де M – результуючий момент сил, прикладених до блоку, I – момент інерції блоку, e – кутове прискорення блоку.

Оскільки тягар m₂ опускається, то . Результуючий момент сил, прикладених до блоку, дорівнює

, (4)

де і - сили натягу шнура, прикладені до блоку, - радіус блоку.

Момент інерції блоку (суцільного циліндра) рівний

, (5)

Вважаємо, що шнур не прослизає по блоку. Тоді:

(6)

Згідно третьому закону Ньютона ; . Тому рівняння (4) приймає вигляд:

(7)

Підставивши співвідношення (7), (5) і (6) у формулу (3), отримаємо:

(8)

Рівняння (1), (2) і (8) - це система трьох рівнянь з невідомими величинами: F₁, F₂, а .

Запишемо цю систему в канонічній формі. Всі невідомі величини переносимо в ліву частину рівняння, відомі, – в праву частину рівняння. Якщо в рівнянні відсутня якась невідома величина, то її записуємо з множником «нуль».

Визначник системи рівний:

(9)

Далі по правилах математики знаходимо визначників невідомих величин:

DF₁

DF₂

Dа

Визначаємо сили F₁ і F₂ і прискорення тягарів а:

(10)

(11)

(12)

Перевірка одиниць вимірювань:

Тут кг - кілограм, м – метр, с - секунда, Н – ньютон.

Залежність швидкості тягарів від часу дається рівнянням:

(13)

Шлях S, пройдений тілами при падінні тягаря m₂ :

(14)

Якщо S = H, то тягар m₂ впаде на поверхню. Вважаючи у формулі (14) S = H, знаходимо час падіння t_n :

(15)

Кут повороту радіусу блоку:

Кількість оборотів блоку, вчинених до падіння тягаря на поверхню:

(16)

Кінетична енергія 1-го тягаря:

(17)

Кінетична енергія 2-го тягаря:

(18)

Залежність кутової швидкості блоку від часу:

(19)

Кінетична енергія блоку:

(20)

Потенційна енергія 1-го тягаря:

(21)

Потенційна енергія 2-го тягаря:

, (22)

де ( ) і ( ) - висоти тягарів над поверхнею.

Момент імпульсу блоку:

(23)