Мысалдар.

1-мысал: R кеңістігінде ||x||=| arctgx | функциясы норма бола ма?

Шешуі:Норманың аксиомаларын тексерейік.

1) ||x||=|arctgx|³ 0 , егер ||x||=0 болса arctgx=0 , tg0=x x=0; Керісінше, x=0 үшін arctgх=0 болады.Бұдан ||x||= arctgx=0 x=0 екені шығады.

2)Екінші аксиоманы тексерейік. Шарт бойынша кез-келген aÎR саны үшін ||ax||=|arctgax|=|ax|| болуы керек. Бұл шарттың орындалмайтынын көрсету қиын емес. Мысалыға , сандарын таңдап алсақ, онда

||ax||=|arctgax|=|arctg |=

Бірақ, |ax||= Þ ||ax|| ¹ |ax||

Екінші аксиома орындалмайды. Олай болса, ||x||=| arctgx | функциясы R кеңістігінде норма бола алмайды екен.

2-мысал: X=C[a,b]-кеңістігіне ( [a,b] кесіндісінде анықталған

үзіліссіз функциялар жиыны) тиісті функциялар үшін анықталған мына екі өрнек норма бола ма?

1⁰. , мұндағы a < a+1 < b-1 < b ;

2⁰. ;

Шешуі: Бұл сұраққа жауап беру үшін норманың үш аксиомасын зерттеу қажет.

1⁰. Мұнда интеграл астындағы функция абсолют шамасымен қатысады, онда кез келген үзіліссіз x(t) функциясы үшін ||x||₁³ 0 болады.

Егерде болса x(t)=0 бола ма ?

Бұл шарттың орынды болмайтынын көрсету қиын емес. Шынында x(t) функциясын мына түрде

таңдап алсақ, онда x(t)Î C[a,b] , ||x||₁=0 болады. Бірақ, x(t)¹0. Олай болса, норманың бірінші шарты, яғни ||x||₁=0 Þ x(t)=0 орындалмайды.

Онда, C[a,b] кеңістігінде функциясы норма емес.

2⁰. Мұнда да интеграл астындағы функция модулмен

берілгендіктен, кез келген үзіліссіз x(t) функциясы үшін ||x||₂³ 0 болады.

Егер болса, онда x(t)=0 бола ма?

Мұнда интеграл астындағы функция оң таңбалы және үзіліссіз болғандықтан |x(t)|=0 болады. Бұдан x(t)=0 екені шығады және x(t)=0 функциясы үшін ||x||₂=0 екені айқын. Бірінші аксиома толық орындалады.

Айталық, кез-келген тұрақты сан берілген болсын , ол үшін норманың екінші аксиомасын тексерейік:

Екінші аксиома да орындалды.

Кез келген x(t), y(t) C[a,b] функцияларын алып, үшінші аксиоманы

тексерейік.

Демек, функциясы C[a,b] сызықтық кеңістігінде норма

болады.

3-мысал: X=C¹[a,b] - [a,b] кесіндісінде өзі және бірінші ретті туындысы үзіліссіз болатын функциялар жиынында

1).||x||³ 0 екені айқын.

Егер

болса, онда және

болуы керек. Егер қандай да бір y(t) - оң және үзіліссіз функциясын алып, оның a£ t£ b кесіндісіндегі максималды мәнін нөлге тең, яғни десек ,онда барлық tÎ [a,b] үшін y(t)º 0 болады. Бұдан барлық tÎ [a,b] үшін x(t)=0, x¢(t)=0 теңдіктері орынды екені келіп шығады. Олай болса, ||x||=0 шарты орынды болады. x(t)=0ÎC¹[a,b] және ||0||=0 екені айқын.

Ендеше, ||x||=0 Û x(t)=0.

2).Кез-келген aÎR нақты саны және x(t) C¹[a,b] үшін