Свойства векторного произведения
1.
2.
3.
4. при тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.
Если векторы и заданы в ортонормированном базисе и и то
Последнюю формулу удобно записать в виде формального определителя третьего порядка
Пример 1. Пусть Найти:
1) 2) 3)
Решение.1) По определению векторного произведения векторов и его длина
2) Используя алгебраические свойства векторного произведения, имеем:
Значит,
3) Используя свойства векторного произведения и условие задачи, получим:
Пример 2. Упростить выражение:
1)
2)
Решение.Воспользуемся равенствами
Тогда имеем:
1)
2)
Пример 3. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и где
Решение. Используем известную из планиметрии формулу площади параллелограмма и геометрический смысл векторного произведения:
где
Тогда по свойствам векторного произведения получим:
Пример 4. Вычислить площадь треугольника ABC и его высоту, опущенную из вершины A к стороне BC, если A(1, 1, 1), B(4, 2, –1), C(2, 3, 0).
Решение. Используем тот факт, что где – площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Так как найдем сначала
Вычисляем векторное произведение в координатной форме:
Тогда
Значит,
Для нахождения высоты h треугольника ABC воспользуемся формулой Тогда здесь
Значит
Пример 5. Даны три силы: приложенные к точке A(–1, 4, 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки O(2, 3, –1).
Решение. Пусть сила – равнодействующая сил Тогда Значит момент этой силы равен
Вычисляем Для нахождения направляющих косинусов используем формулы (14.9):
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 833;