Основные правила дифференцирования. Пусть – дифференцируемые функции
Пусть – дифференцируемые функции. Справедливы формулы:
где (11.3)
где (11.4)
(11.5)
(11.6)
(11.7)
Таблица производных основных элементарных функций
где в частности:
где в частности,
где в частности
Пример 1. Найти производную функции в точке пользуясь определением, если:
1) 2)
Решение. 1) Используем определение производной в виде формулы (11.1):
Поскольку по условию то
2) По формуле (11.1) получаем:
Далее, применив тригонометрическую формулу
получим:
Так как при имеем и, применив формулу первого замечательного предела, получаем:
Поскольку по условию то
Пример 2.Вычислить производную функции пользуясь определением производной.
Решение. Пусть x – произвольная фиксированная точка из Пользуясь формулой (11.1), имеем:
Таким образом, операция дифференцирования ставит в соответствие функции функцию
Пример 3.Найти производную функции:
1) 2) 3)
Решение. 1) Дифференцируем функцию и используем формулы (11.4), (11.5) и таблицу производных, получаем:
2) Дифференцируем функцию по формулам (11.3)–(11.6) и соответствующим формулам таблицы производных:
3) Дифференцируем функцию по формулам (11.7), (11.5), (11.3) и первой формуле таблицы производных:
Пример 4. Вычислить производную функции, используя правила дифференцирования и таблицу производных:
1) 2)
3)
Решение.1) Преобразуем функцию, пользуясь свойствами логарифма:
Полученное выражение дифференцируем по формулам (11.4)–(11.6) и формулам таблицы производных:
2) Перед дифференцированием преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:
Дальше воспользуемся формулами (11.3)–(11.5) и таблицей производных:
3) Так как непосредственное дифференцирование вызывает значительные трудности, предварительно упростим выражение по формулам тригонометрии:
Полученное выражение дифференцируем по формуле (11.7) и соответствующим формулам таблицы производных:
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 730;