Примеры:_____________________________________________________________________
1. Пусть пространством событий является множество чисел Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, в котором все числа – элементарные события – равновозможны, вероятность каждого из них равна 1/10. Пусть A = {1,3, 5, 7}, В= {2, 4, 6}, тогда A и B несовместны и А + В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Найдем
Р(А) = = , Р(В) = , Р(А+В)= .
Проверим результат вычисления по формуле (*):
Р(А+В) = + = .
2. Пусть пространством событий является множество чисел Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, в котором все числа – элементарные события – равновозможны, вероятность каждого из них равна 1/10. Пусть А = {2, 3, 5, 7, 10}, В = {2, 5, 6, 8, 9}, тогда А . В = {2, 5}, А + В = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
Р(А) = = , Р(В) = = , Р(А·В) = = , Р(А+В) = = .
что соответствует формуле (**):
Р(А+В) = + – = 1 – = .
3. Пусть в группе из 27 туристов 17 человек владеют английским языком, 6 – французским, а 2 – обоими языками. Найти вероятность того, что случайно выбранный из группы турист владеет по крайней мере одним из этих языков [3, с. 13].
Введем событие: А – «выбранный турист владеет английским», В – «выбранный турист владеет французским». Тогда событие А + В означает, что турист владеет хотя бы одним из этих языков. По условию задачи
Р(А) = , Р(В) = , Р(АВ) = .
по формуле (**)имеем:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = + - = = .
____________________________________________________________
2. Условная вероятность и теоремы умножения
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность события А, вычисленная при условии, чтопроизошло событие B, называется условной вероятностьюсобытия А и обозначается Р(А/В) (или РB(А)), говорят: «вероятность события А при условии В».
Условная вероятность Р(А/B) определяется формулой (при Р(В)>0)
P(A/B)= .
Пример:
_________________________________________________________________________________
В рассмотренном выше примере 2 Р(А . В) = 1/5, Р(В) = 1/2, поэтому условная вероятность равна
P(A/B) = = .
Эту же вероятность можно найти непосредственно по определению. В состав события В входят 5 чисел, только 2 из чисел, входящих в А, входят также и в B. По классической формуле вероятности
P(A/B) = .
_______________________________________________________________
События А и В называются независимыми, если Р(А/B)=Р(А), т.е. вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В.
Как следствие рассмотренной формулы условной вероятности можно рассмотреть теоремы умножения вероятностей:
ü Вероятность произведения двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло:
, P(B) > 0 или
, P(A) > 0
ü Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
Часто последнее соотношение служит определением независимости событий, так что события называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению вероятностей.
Дата добавления: 2015-09-28; просмотров: 578;