Приклади розв’язку задач. Приклад 1. Рівняння руху матеріальної точки уздовж осі має вид , де A = 2 м, B = –2 м/с, C = 0,5 м/с3

Приклад 1. Рівняння руху матеріальної точки уздовж осі має вид , де A = 2 м, B = –2 м/с, C = 0,5 м/с³. Знайти координату, швидкість і прискорення точки в момент часу t = 3 с. Знайти середні значення швидкості і прискорення у проміжок часу від 1 с до 3 с.

Дано: ; A = 2 м, B = –2 м/с, C = 0,5 м/с³; t = 3 с,
t₁ = 1c, t₂ = 3 c.

Знайти: , , , , .

Розв’язок. Координату х знайдемо, підставивши в рівняння руху числові значення коефіцієнтів А, В, С і часу t.

Миттєва швидкість щодо осі х – це перша похідна від координати за часом:

. (1)

Миттєве прискорення точки знайдемо, узявши першу похідну від швидкості за часом:

. (2)

Обчислення.

Для моменту часу t = 2 с одержимо

x = (2 – 2ּ3 + 0,5·3³) (м) = 9,5 м;

= (–2 + 3·0,5·3²) м/с= 11,5 м/с;

a₁ = (6·0,5·3 )м/с² = 9 м/с².

Середня швидкість визначається відношенням

,

де х₁ = 2 – 2t₁ + 0,5t₁³ = 0,5 м; х₂ = 2 – 2t₂ + 0,5t₂³ = 9,5 м/с.

Тоді

м/с.

Середнє прискорення визначається за формулою , згідно (1)

–2 + 3·0,5 = –0,5 м/с, –2 +3·0,5 = 11,5 м/с.

Тоді

м/с².

Відповідь:x = 9,5 м; = 4,5 м/с; a = 6 м/с².

Приклад 2. Тіло кинуте з висоти 12 м під кутом 30⁰ до горизонту з початковою швидкістю 12 м/с. Визначити тривалість польоту тіла до точок A і B (рис. 1.1), максимальну висоту, на яку піднімається тіло, і дальність польоту тіла. Опір повітря не враховувати.

Дано: H = 12 м; α = 300; 12 м/с. Знайти:tА, tВ, hmax, xmax. Розв’язок. У системі координат, показаній на рис. 1.1, проекції початкової швидкості на осі координат дорівнюють: ; (1) ; (2) Координати тіла з часом змінюються

Рис. 1.1.

відповідно до рівняння рівнозмінного (вздовж осі y) та рівномірного (вздовж осі x) руху

; (3)

. (4)

Час підйому тіла знайдемо за умови, що в найвищій точці підйому тіла вертикальної складової його швидкості . Тоді з виразу (2) знайдемо час t_п, що пройшов до підйому тіла на максимальну висоту

. (5)

Час спуску тіла від точки C до точки A дорівнює часу підйому, тому тривалість польоту тіла від точки O₁ до точки A дорівнює

. (6)

Максимальну висоту підйому знайдемо з рівняння (4), підставивши в нього час підйому з рівняння (5)

. (7)

Час польоту тіла до точки В знайдемо, розв’язуючи квадратне рівняння (нефізичний розв’язок відкидається), отримане з виразу (4), у якому кінцева координата y(t) прирівнюється до нуля

. (8)

Дальність польоту знайдемо з рівняння (3), підставивши в нього час руху з рівняння (8)

. (9)