Обработка результатов эксперимента

Баллистический маятник представляет собой тяжелое тело, подвешенное на двойных нитях. В маятник стреляют по горизонтали пулей, которая застревает в нем. Пуля сообщает маятнику некоторую скорость, в результате чего маятник отклоняется. Измеряют величину отклонения маятника и по ней определяют скорость пули. Таким образом, методом баллистического маятника можно косвенно измерить скорость пули.

Если время соударения пули с маятником мало по сравнению с периодом колебаний маятника, то маятник не успевает заметно отклониться от исходного положения за время соударения. Это значит, что во время удара не возникнут силы, стремящиеся вернуть маятник в исходное положение, и систему пуля – маятник можно рассматривать как замкнутую. Удар пули, при котором она застревает в маятнике, является неупругим. При неупругом ударе выполняется закон сохранения импульса, который для системы из двух тел имеет вид

, (3.1)

где и − массы пули и баллистического маятника, и скорости пули и маятника до удара, − скорость маятника с пулей после удара. Поскольку до удара скорость маятника была равна нулю, в левой части формулы (3.1) останется только первое слагаемое. Направим ось вдоль скорости движения пули и спроектируем формулу (3.1) на ось :

. (3.2)

После удара маятник с пулей будет двигаться по дуге радиуса , где − длина нитей подвеса, и поднимется на некоторую высоту . Вследствие действия силы тяжести скорость системы «маятник-пуля»и ее кинетическая энергия будут убывать до нуля. Потенциальная энергия системы наоборот будет возрастать. За нуль отсчета потенциальной энергии примем вертикальную координату центра масс маятника перед выстрелом пули.

Кинетическая энергия системы сразу после удара пули равна , потенциальная энергия системы при ее отклонении до высоты равна . Для системы маятник-пуля после удара применим закон сохранения механической энергии, на основании которого можно записать

(3.3)

Из уравнений (3.2) и (3.3) выразим скорость пули

(3.4)

Поскольку масса пули во много раз меньше массы маятника, величиной в числителе формулы (3.4) по сравнению с величиной ,можно пренебречь и получить формулу для расчета скорости пули в следующем виде:

Из рис. 3.1 видно, что высота отклонения выражается через угол отклонения следующим образом:

, (3.6)

при условии, что угол мал, примем, что

С учетом этого скорость пули из формулы (3.4) выражается следующим образом:

(3.7)

Выразим высоту подъема центра масс маятника через величину его отклонения по горизонтали. Используем для прямоугольного треугольника, изображенного на рис.3.1.,теорему Пифагора и запишем . Раскроем скобки в левой части; примем, что величина мала по сравнению с другими слагаемыми и тогда получим , откуда . Таким образом скорость пули может быть выражена через горизонтальное отклонение маятника по формуле

. (3.8)

Методика эксперимента

Последовательность выполнения работы.

1 способ. Определение скорости по измерению угла отклонения маятника.

Отмечают положение стрелки 4 на шкале транспортира 5 – начальный угол . Из пистолета 3 делают выстрел, замечают положение стрелки 4 при отклонении маятника – записывают значение .

Определяют угол отклонения маятника .

Опыты проводятся с двумя пулями массами и . Для каждой пули производится 5−6 выстрелов.

2 способ. Определение скорости по измерению горизонтального отклонения маятника. По линейке 7 отмечают начальное положение указателя. Производят выстрел, маятник отклоняется. Отмечают его положение при отклонении .

Определяют перемещение маятника по горизонтали .

Опыты проделывают 5−7 раз с двумя пулями разной массы. Масса баллистического маятника и массы пуль указаны на лабораторной установке.

Обработка результатов эксперимента

1. Вычислить последовательно средние значения величин , .

2. Величину вычислить по формуле (3.8), в которой или .

Для второй пули производятся такие же расчеты.

Расчет погрешностей.

1. Погрешность косвенных измерений скорости пули, выполняемых первым способом, рассчитывается по формуле

. (3.9)

В (3.9) входит погрешность прямых измерений угла

, (3.10)

где − коэффициент Стьюдента, − среднее квадратичное отклонение.

2. Погрешность косвенных измерений скорости пули, выполняемых вторым способом, рассчитывается по формуле

. (3.11)

В этом случае погрешность прямых измерений отклонения маятника по горизонтали находят по формуле

. (3.12)

3. Результат для каждого способа представить в виде:

Дополнительное задание:Определение скорости пули по дальности полета при горизонтальной стрельбе.

Движение тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты, представляет собой два одновременных движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали с ускорением, равным ускорению свободного падения (рис. 3.3).

Дальность полета, то есть перемещение по горизонтали определяется по формуле. . Время движения тела зависит от высоты точки бросания и связано с ней формулой . Отсюда выражаем время полета и затем дальность полета .

Таким образом скорость полета пули может быть рассчитать по формуле

Методика эксперимента

В этом задании используется только пистолет 3, который разворачивают к краю стола, чтобы пуля не попадала в маятник.

Измеряют высоту пистолета над столом . После выстрела определяют дальность полета пули − расстояние, которое она пролетела по горизонтали. Для измерений используют линейку 8. Опыт проводят 3−5 раз.

Проводят измерения дальности полета для двух других значений высоты пистолета , .

Обработка результатов эксперимента

1.Для каждого значения высоты пистолета над столом находят среднее значение дальности полета , , и рассчитывают среднее значение скорости пули по формуле

. (3.14)

2. Определяют погрешность прямых измерений дальности полета по формуле

. (3.15)

3.Находят случайную составляющую погрешности косвенных измерений скорости пули:

. (3.16)

4.Приборную погрешность величины скорости , связанную с измерением величины , рассчитать по формуле

. (3.17)

5. Суммарную погрешность косвенных измерений величины определить по формуле:

. (3.18)

6. Результат представить в виде: .

Математический маятник

 

Колебательным движением или колебанием называется такое движение, при котором тело остается вблизи некоторого положения равновесия. В качест­ве примеров колебаний на рис. 4.1 приведены математический, пружинный и физический маятники.

Если положение системы в любой момент времени может быть описано единственным параметром, то говорят, что система имеет одну степень свобо­ды. Для всех систем с одной степенью свободы, вне зависимости от их физиче­ской природы, закон движения имеет одну и ту же математическую форму. По­лучим ее на примере пружинного маятника (рис. 4.1). На первом этапе рас­смотрения силу сопротивления не учитываем.

Рис. 4.1. Различные механические колебательные системы-маятники: математический, пружинный, физический

x C O O` φ Рис 1.2 Штангенциркуль

φ0

φ

m

Определим положение точки массой m ее смещением x из положения равновесия, в котором x = 0. Сила упругости , действующая на массу, будет стремиться вернуть ее в положение равновесия. Она называется возвращающей силой. По закону Гука , k>0 . Знак «минус» означает, что сила на­правлена в сторону, противоположную смещению. По второму закону Ньютона

имеем: , где − ускорение точки. Так как , то , . Так как k>0, m>0, то можно положить . Тогда

 

(4.1)

x

0

Из уравнения (4.1), описывающего колебания в среде без сопротивле­ния − свободные колебания, следует, что движение точки под действием воз­вращающей силы происходит таким образом, что ее ускорение пропорцио­нально смещению из положения равновесия.

Для того чтобы определить закон колебательного движения, необходимо решить дифференциальное уравнение (4.1), то есть найти зависимость . Предположим, что

Рис. 4.2. Зависимость смещения x при гармонических колебаниях от времени при : − положения равновесия, ×− положения крайнего отклонения.

, (4.2)

где и − произвольные постоянные величины. Подставив функцию (4.2) в уравнение (4.1), вычислив предварительно производные, можно убедиться, что она является решением уравнения и описывает гармоническое колебательное движение (рис. 4.2). Исследуем эту функцию в различные моменты времени, считая (рис. 4.3): . В момент вре­мени точка находится в положении максимального правого отклонения, в момент − в положении равновесия, в момент − в положении максимального левого отклонения, и, наконец, в момент точка возвращается в по­ложение равновесия. Таким обра­зом колеблющаяся точка проходит каждую точку своего пути, в данном примере – положение равновесия, два раза за время . Это время T называется периодом колебаний. Величина , показывающая, сколько колебаний точка совершает за единиц времени, называется круго­вой или циклической частотой колебаний. Величина А является наибольшим отклонением колеблющейся точки от положения равновесия амплитудой колебаний.

Начальная фаза определяет полож

x

x

x

x

ение колеблющейся точки в начальный момент времени . Величина называется фазой колебаний и определяет отклонение точки из положения равновесия в произвольный момент времени.

Рис. 4.3. Положение колеблющейся точки в различные моменты времени

Наряду с циклической частотой можно ввести частоту , показывающую, сколько колебаний точка совершила за единицу времени. При этом .

Вычислим период колебаний математического маятника (см. рис. 4.1). Из треугольника сил видно, что . Если угол отклонения мал, то , . Знак «минус» означает, что возвращающая сила направлена в сторону, противоположную направлению отсчёта угла против часовой стрелки. Так как − это касательное к траектории ускорение, то по второму закону Ньютона имеем . Тогда: , или , , , или

. (4.3)

Из формулы (4.3) следует, что период колебаний математического ма­ятника не зависит от массы груза. Поэтому для данного положения на Земле и для определенного значения g период зависит только от длины подвеса l. В частности, в той степени, в какой справедливо приближение , период колебаний не зависит от амплитуды.

Определим теперь период колебаний математического маятника в зави­симости от амплитуды. На основании закона сохранения энергии и рис. 4.1 имеем

(4.4)

 

Из равенства (4.4) легко найти круговую частоту и период колебаний:

, (4.5)

где К(k)= − полный эллиптический интеграл первого рода.

При малых колебаниях, когда выполнено , разложение функции K(k) в ряд даёт

. (4.6)

Нетрудно увидеть, что при из (4.6) следует выражение для периода малых колебаний (4.3).