Пример. Идеальный газ двухатомных молекул

Между атомами молекулы имеется упругая связь, атомы совершают колебания. Такая система называется осциллятором. Молекулы независимы друг от друга. Полагаем, что поступательное, вращательное и колебательное движения молекулы происходят независимо, и между ними нет обмена энергией. Для колебательного движения молекулы найдем фазовую траекторию микросостояния и проверим выполнение теоремы Лиувилля.

1.Линейное колебание молекулы происходит с постоянной частотой ω и постоянной энергией E. Гамильтониан приравниваем полной энергии

.

В фазовом пространстве (x,p) микросостояние с движется по гиперповерхности с постоянной энергией. Это дает уравнение фазовой траектории микросостояния

,

являющееся уравнением эллипса

с полуосями

, ,

показанными на рисунке. Разные микросостояния отличаются друг от друга начальной фазой.

2.Находим число микросостояний, используя (2.2а):

.

Для рассматриваемого случая , и интеграл равен площади эллипса

,

тогда число микросостояний

, (П.2.4)

где . Поскольку n – целое число, то энергия осциллятора квантуется

, (П.2.4а)

где – квант энергии. Число микросостояний равно числу квантов энергии осциллятора

На рисунке показан спектр энергиигармонического осциллятора. Горизонтальная линия – уровень энергии показывает возможное состояние осциллятора. Величина равна энергии одного кванта, или интервалу эквидистантного спектра. На уровне осциллятор имеет n квантов энергии.

3.Для получения якобиана

найдем функции

, ,

где – начальная координата и начальный импульс при .

В уравнения Гамильтона (2.1)

,

подставляем гамильтониан осциллятора

.

Получаем

– связь скорости с импульсом,

– 2-й закон Ньютона ,

где – коэффициент жесткости упругой силы F;

.

Для решения системы двух уравнений дифференцируем первое уравнение

,

подставляем второе и получаем уравнение гармонических колебаний

.

Общее решение

,

тогда

.

Для нахождения параметров A и B накладываем начальные условия. При

,

,

получаем

, .

В результате закон изменения координат микросостояния с течением времени

,

.

Следовательно, микросостояния перемещаются по эллипсу по часовой стрелке с круговой частотой ω.

4.Вычисляем якобиан

.

Теорема Лиувилля выполняется.