Центр масс механической системы

Пусть дана механическая система, состоящая из материальных точек имеющих массу , положение которых относительно системы отсчёта в каждый момент времени определяется радиусом-вектором (рис. 12.7).

Рис. 12.7

Центром масс механической системы называется геометрическая точка, радиус-вектор которой в выбранной системе координат определяется формулой (12.8) где n - число материальных точек системы, - масса k-й точки, - ее радиус-вектор, - масса всей системы.

Декартовы координаты центра масс определяются соответственно формулами:

, , , (12.9)

где , , - координаты k-ой точки.

Для абсолютно твердого тела суммы, стоящие справа в формулах (12.8) и (12.9), перейдут в интегралы:

;

; ; .

В этих формулах интеграл, записанный условно, распространен по массе тела. Для твердых тел, находящихся вблизи поверхности Земли, центр масс и центр тяжести совпадают.

В формулах выше , где - плотность тела в данной точке. Если тело однородное, то , где - объём тела.

Тогда

.

Рис. 12.8

Если однородное тело представляет однородную пластину, либо поверхность, либо оболочку, когда один из размеров тела существенно меньше двух других (рис.12.8), то Где S – площадь тела.

Для однородной линии (рис. 12.9), когда существенен один размер

Рис. 12.9

Где L – длина линии.

Способы определения центра масс механической системы совпадают со способами определения центра тяжести тел в статике.