Дифференциальные уравнения движения механической системы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n > 1 материальных точек M_k(k = 1,2,…,n), положение которых относительно инерциальной системы отсчета Oxyz определяются радиус-векторами (рис. 12.4). Пусть

Рис. 12.4

– массы точек Mk, имеющих в данный момент времени скорости и ускорение . Применим к механической системе принцип освобождаемости от связей и заменим связи их реакциями. Обозначим через и равнодействующие всех внешних и внутренних сил (сюда входят как активные силы, так и реакции связей), приложенных к k-ой материальной точке. Тогда каждую

точку можно рассматривать как свободную, движущуюся под действием сил , и к каждой точке применим основной закон динамики:

(12.1)

Учитывая, что , перепишем равенства (21.1) в виде дифференциальных уравнений:

(12.2)

Таких уравнений будет (n) штук. Это векторная форма записи дифференциальных уравнений дискретной механической системы. В уравнениях силы могут зависеть только от времени, положения и скорости точек системы.

Перепишем уравнения (12.2) в проекциях на неподвижные оси системы координат Oxyz:

(12.3)

Получим скалярную форму (3n) дифферециальных уравнений движения механической системы.

Основная задача динамики механической системы состоит в том, чтобы по известным силам, действующим на точки механической системы, определить движение каждой точки системы. Неизвестными при этом являются также внутренние силы и реакции внешних связей. Решение основной задачи сводится к интегрированию уравнений (12.3). К уравнениям необходимо присоединять уравнения связей.

Если уравнения удовлетворяют условиям существования и единственности решения, то общее решение системы (12.3) запишется в виде:

Чтобы из этого семейства решений выделить одно, необходимо задать начальные условия:

Имеем 6n условий для определения 6n констант интегрирования.

Определив константы интегрирования, получим окончательно частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Поскольку общее аналитическое решение основной задачи динамики механической системы затруднительно в общем случае, то в конкретных задачах системы уравнений (12.3) с заданными начальными условиями решаются численными методами. Дифференциальные уравнения движения (12.3) имеют практическое значение лишь при небольшом количестве материальных точек, составляющих механическую систему.

Рассмотрим простой пример.

Задача.Два ползуна с массами m₁ и m₂, соединённых жестким стержнем пренебрежимой массы, движутся по двум параллельным направляющим в горизонтальной плоскости. К ползуну массой m₁ приложена вдоль направляющей постоянная сила . Стержень длиной наклонён к направляющей под углом (рис. 12.5). Считая связи идеальными, определить закон движения ползунов и реакции связей.

Решение.Так как оба ползуна будут двигаться поступательно, примем их за материальные точки М₁ и М₂. Освободимся от связей. Для двух точек, соединённых стержнем направляющие являются внешними связями. Заменим их действие реакциями N₁ и N₂, перпендикулярными гладким направляющим (рис. 12.6). Стержень является внутренний связью.

Рис. 12.5

Его действие заменим реакциями R1 и R2, являющимися противоравными внутренними силами , направленными вдоль стержня. Таким образом, имеем механическую систему, состоящую из двух материальных точек М1 и М2, движущихся под действием как внешних сил ( ), так и внутренних сил ( ).

Направим ось Ох вдоль направляющей точки М₁ (рис. 12.6). Применим к материальным точкам основной закон динамики:

Рис. 12.6

(12.4) Уравнения связей в указанной на рис.12.6 системе координат будут следующими: (12.5) Проектируя векторные равенства (12.4) на ось x, получим дифференциальные уравнения движения точек:

(12.6)

Обозначая и учитывая условия, налагаемые связями из уравнений (21.6) следует:

(12.7)

(12.8)

Интегрируя уравнение (12.8), получим:

где С₁ и С₂ – константы интегрирования, которые определим из начальных условий. Пусть начальные скорости точек равны . Тогда и закон движения точки М₁ запишется в виде

.

Закон движения точки М₂ с учётом уравнения связей будет следующим

.

Проектируя равенства (12.4) на ось y и учитывая уравнения связей (12.5), получим уравнения для определения реакций и :

Откуда .