Ток вероятности

Плотность вероятности обнаружения частицы около точки r

зависит от времени. Вероятность обнаружить частицу во всем пространстве неизменна

.

Следовательно, вероятность перетекает из одного места в другое. Вводим плотность тока вероятности по аналогии с плотностью электрического тока.

Плотность тока вероятности частицы j, умноженная на заряд частицы e, равна плотности электрического тока, связанного с движением частицы:

.

Плотность электрического тока множества частиц, движущихся со скоростью v, равна

,

где – заряд, проходящий за 1с через единичное поперечное сечение проводника; n – концентрация частиц. Тогда плотность тока вероятности для одной частицы выражается через ее скорость и плотность вероятности

. (2.70)

Плотность тока вероятности и волновая функция. Используем оператор скорости

, (2.70а)

где

.

С учетом (2.70) и (2.70а) определяем плотность тока вероятности для частицы в состоянии

, (2.71)

где использовано

.

Вектор выражаем через декартовые компоненты

,

тогда проекция плотности тока вероятности

. (2.72)

Уравнение непрерывности тока вероятности. Используем

,

,

и уравнение Шредингера (2.54)

,

.

Получаем

.

С учетом (2.72)

в первая круглая скобка

и аналогично для остальных скобок. В результате получаем уравнение непрерывности тока вероятности

. (2.73)

Дивергенция плотности тока divj является потоком из единичного объема. Согласно (2.73) поток из объема уменьшает вероятность в этом объеме. Следовательно, уравнение Шредингера описывает систему, у которой нет источников и стоков частиц.

Ток вероятности для частицы с импульсом р. Состояние описывается плоской волной

.

Плотность вероятности

распределена по всему пространству равномерно. В состоянии равномерного движения частица обнаруживается в любой точке пространства с равной вероятностью.

Плотность тока вероятности (2.72)

с учетом

, ,

,

получаем

,

тогда

.

Результат согласуется с (2.70) .

Плотность электрического заряда и тока для частицы с зарядом е равны

,

.

При равномерном движении заряда используем и получаем известное соотношение для плотности электрического тока

.

Уравнение непрерывности (2.73)

умножаем на заряд частицы и получаем закон сохранения заряда в дифференциальной форме

.

Ток вероятности в стационарном состоянии. Для стационарного состояния используем выражение (2.63) в виде волны

с вещественными амплитудой A и фазой φ. Плотность вероятности

.

Для плотности тока вероятности (2.71)

с учетом

,

получаем

.

Используем

, ,

находим

,

,

, . (2.74)

Для стационарного состояния волновой вектор равен градиенту фазы волновой функции, плотность тока вероятности пропорциональна плотности вероятности и градиенту фазы волновой функции. Если фаза b в разных точках одинаковая, то , .

Согласно (2.73) выполняется

.

В стационарном состоянии поток вероятности из любого объема равен нулю.