Бірөлшемді тікбұрышты потенциал шұңқырдағы бөлшек

Бір өлшемді потенциалдық шұңқыр ішіндегі электрон үшін Шредингер теңдеуінің шешімін қарастыралық. Мұндай жағдай өте қарапайым, әрі жасанды. Дегенмен, ол Шредингер теңдеуінің және оның шешімдерінің негізгі ерекшеліктерін жеткілікті түрде оңай көрсетуге мүмкіндік береді.

Шексіз терең бір өлшемді потенциалдық шұңқырдағы бөлшек үшін меншікті энергия мәндері мен бұларға сәйкес меншікті функцияларды табайық. Массасы т бөлшек (электрон) тек х осі бойымен қозғала алатын болсын; және қозғалыс бөлшекті өткізбейтін және қабырғаларымен шектелген болсын. Осы жағдайда U потенциалдық энергияның түрі 1а-суретте көрсетілгендей: болғанда , және болғанда болады.

Бір өлшемді есептер жағдайында стационарлық күйлер үшін Шредингер теңдеуі былай өрнектеледі:

. (4)

Потенциалдық шұңқырдан бөлшек шыға алмайды. Сондықтан бөлшектің шұңқыр сыртында табылу ықтималдығы нөлге тең. Осыған сәйкес толқындық функция да шұңқырдан тыс аймақтарда нөлге тең болады. Үздіксіздік шартынан шұңқыр шекарасында да нөлге тең болуға тиіс, яғни

. (5)

Осы шартта (4) теңдеуінің шешшімдері қанағаттандыруға тиіс. Шұңқыр ішінде болғандықтан (4) Шредингер теңдеуі осы жағдайда былай жазылады:

. (6)

белгілеуін енгізіп, тербелістер

теориясынан белгілі теңдеу алынады:

1-сурет .

Бұл теңдеудің жалпы шешімі белгілі, ол мынадай:

. (7)

шекаралық шартынан болғандығы шығады; демек

(7а)

шартынан болатындығы шығады; бұл егер

, (8)

болған жағдайда ғана мүмкін болады. (8) теңдіктің екі жағын да квадраттап және өрнегін ескеріп, бөлшек энергиясының мәнін табамыз:

, . (9)

Демек, Е энергия дискреттік мәндер жиынтығын қабылдайды. (9) өрнек қарастырылған потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің энергиясын анықтайды. Шұңқыр ішінде бөлшектің потенциалдық энергиясы болмайтындықтан, толық энергиясы кинетикалық энергияға тең болады. Бөлшек энергиясы квантталған, яғни бөлшек энергиясы тек белгілі дискреттік мәндер қабылдай алады, бұлар меншікті мәндер болып табылады.Осы меншікті мәндер энергия деңгейлерінің жүйесін құрайды. деңгейге сәйкес келетін n бүтін саны осы деңгейдің кванттық саны деп аталады. 1б-суретте бөлшектің бірнеше энергия деңгейлерінің орналасуы көрсетілген. Ең аз энергиясы бар күй – негізгі, қалғандары – қозған күй деп аталады. Көрші деңгейлердің аралығы былай анықталады:

.

Яғни бөлшек массасы және шұңқыр ені кеміген сайын арта түседі. n артқанда қатынасы кемиді. Осыдан кванттық күйлердің дискреттігі кіші n жағдайында айқын байқалады да, үлкен n жағдайында бәсеңдеп, іс жүзінде жоғалады.

Шұңқырдағы бөлшектің энергиясы нөлге тең болуы мүмкін емес. Егер бөлшек энергиясы нөлге тең болса, онда оның толқындық функциясы да шұңқырдың кез келген нүктесінде нөл болар еді. Ал бұл бөлшектің шұнқырда болуы мүмкін емес деген мағына береді. Бөлшек энергиясының нөлге тең болмауы және мүмкін мәндерінің белгілі дискретті мәндермен шектелуі кванттық механикаға тән нәтижелер. Классикалық механикада энергия кез келген мәнге, соның ішінде нөлге тең бола алады. Анықталмағандық принципі бойынша да Е=0 энергия мәні келіспейді.

Студенттердің өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтары:

1. Шредингер теңдеуі қалай өрнектеледі?

2. Стационарлық күй үшін Шредингер теңдеуін жазыңыз.

3. Толқындық функцияның мағынасы қандай?

4. Бір өлшемді потенциалдық шұңқыр ішіндегі электрон үшін Шредингер теңдеуінің шешімі қандай?

5. Бір өлшемді есептер жағдайында стационарлық күйлер үшін Шредингер теңдеуін жазып көрсетіңіз.