РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Воспользуемся полученной нами ранее барометрической формулой:
(9.16)
и получим зависимость концентрации молекул от высоты. Поскольку
, 
и 
, то
(9.17)
Если изобразить графики зависимостей 
в соответствии с (9.17) при различных температурах, то легко видеть, что с понижением температуры основная часть молекул располагается ближе к поверхности Земли. При абсолютном нуле все молекулы должны были бы расположиться на поверхности. Наоборот, при высоких температурах молекулы располагаются почти равномерно.
Конкретное распределение молекул устанавливается в результате действия противоположных факторов: сила притяжения концентрирует молекулы вблизи поверхности, а тепловое движение разбрасывает по всем высотам.
В числителе показателя степени экспоненты (9.17) стоит фактически энергия молекулы в поле силы тяжестиεр. Поэтому (9.17) можно записать в виде
(9.18)
Больцман доказал, что распределение (9.18) справедливо для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в тепловом движении в любом потенциальном поле. Поэтому распределение (18) называют распределением Больцмана. Это распределение можно представить в виде
(9.19)
где 
– количество молекул, попадающих в пределы объема 
, расположенного в точке с координатами x, y, z.
Это распределение можно объединить с распределением Максвелла, выделив из молекулы, компоненты скорости которых лежат в пределах от 
до 
,от 
до 
, от 
до 
:
(9.20)
Очень часто энергия частиц может только дискретные значения из ряда: 
. В этом случае распределение Больцмана дает количество частиц 
, которые находятся в состоянии с энергией 
и имеет вид:
(9.21)
где 
– коэффициент пропорциональности, который определяется из условия нормировки. В этом случае условие нормировки сводится к требованию того, чтобы сумма частиц во всех состояниях была равна общему количеству частиц в системе:
(9.22)
Найдем значение нолрмирующего множителя, подставив (9.21) в (9.22):
(9.23)
Таким образом, окончательно распределение Больцмана для систем с дискретными разрешенными значениями энергии можно записать в виде:
(9.24)
Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 721;