Обнаружение ошибок с помощью систематических кодов

Имея порождающую матрицу систематического кода G, строят проверочную матрицу H, посредством которой можно обнаруживать и по возможности исправлять ошибки. Проверочная матрица должна быть ортогональна любой разрешенной комбинации кода, то есть произведение проверочной матрицы на любую разрешенную кодовую комбинацию должно давать нулевой вектор. Порядок построения проверочной матрицы следующий.

1) В порождающей матрице G выделяют информационную квадратную подматрицу I и проверочную подматрицу P.

2) Проверочную подматрицу транспонируют, получая подматрицу P^T.

3) Справа к подматрице P^T приписывают квадратную единичную матрицу размера r×r.

Получается матрица , которую используют для обнаружения ошибок путем проверки ее ортогональности полученному кодовому слову Û. Вычисляют вектор s, называемый синдромом ошибки: s = H·Û. Если синдром ошибки равен нулю, то комбинация передана безошибочно, в противном случае ошибка существует, ее можно даже исправить. Можно показать, что синдром ошибки однозначно определяется вектором ошибки. Действительно: S = H∙Û, но в свою очередь Û = UÅe, значит S = H∙(UÅe) = H∙UÅH∙e. Матрица H составляется так, чтобы выполнялось условие ортогональности H∙U = 0, следовательно S = H∙e.