Позиционные задачи на пересечение поверхности с прямой линией и плоскостью

В общем случае пересечения поверхности с плоскостью является кривая линия.

Рассмотрим конические сечения фронтально проецирующимися плоскостями и горизонтальной плоскостью уровня (рис. 6.7) Обозначим угол наклона образующей к оси конуса a - а угол наклона следа плоскости - j. В зависимости от угла наклона плоскости линией сечения может быть окружность, эллипс, парабола, гипербола. Если:

j = 90°, линия сечения - окружность,

j > a - эллипс,

j = a - парабола,

j < a - гипербола.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то сечением является треугольник.

Задача: Построить линию сечения конуса фронтально проецирующей плоскостью S (рис. 6.8).

Решение: Линией сечения в данном случае будет неполны эллипс т.к. угол наклона плоскости S к оси конуса больше угла наклона образующей. Фронтальная проекция линии сечения совпадает со следом плоскости, т.к. секущая плоскость является фронтально проецирующей. Определим горизонтальную проекцию сечения. Первоначально отметим опорные точки – точка 1 на очерковой образующей является высшей точкой сечения, точки 2 и 3 на основании конуса – низшие точки. Ряд промежуточных точек 4, 5, 6, 7 определяем с помощью параллелей конуса, проведённых через эти точки. Точки 8, 9 определены через образующую конуса. Полученные точки плавно соединяем с учётом видимости.

Рис. 6.7. Сечение конуса.

Рис. 6.8.

Задача: Определить точки пересечения прямой а с конусом (рис. 6.9).

Решение: Для решения задачи выгоднее всего использовать вспомогательную плоскость, проходящую через вершину конуса. Для этого дополним прямую а до плоскости прямой b,

Рис. 6.9. Пересечение прямой с конусом.

пересекающейся с ней в точке 1 (рис. 6.9). Определим горизонтальный след вспомогательной плоскости S(а Ç b). Для этого найдём следы прямых а и b – М и М¹. Отметим точки пересечения основания конуса с горизонтальным следом S₁ – точки А и В. Определилась линия сечения конуса со вспомогательной плоскостью – это треугольник АВS.

На пересечении линии сечения A₁B₁S₁ и проекции прямой а₁ находим искомые точки K₁ и L₁, по линиям связи - K₂ и L₂. Затем определяем видимость прямой относительно точек пересечения.